Hans Walser

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Publiziert in: Mathematik Lehren. Heft 96, Oktober 1999. S. 47-50

Kurzfassung

Figurenfolgen entstehen entweder aufbauend durch schrittweises Ansetzen einer einfachen Grundfigur an eine bestehende Figur oder deduktiv durch Zerlegen einer Ausgangsfigur. Das Zerlegen kann dabei entweder rein geometrisch auf dem Zeichenpapier oder Bildschirm erfolgen oder aber durch wirkliches Zerschneiden oder Falten einer Papierfigur. Aus den Figurenfolgen entstehen Zahlenfolgen durch Auszählen oder Ausmessen von Längen. Die entstehenden Figuren sind Spiralen und Fraktale, die zugeordneten Zahlenfolgen häufig geometrische Folgen.

Worum geht es?

Auf dem Tisch von Jonathan, dem Träumer, fand ich eine aus Papierrechtecken zusammengesetzte Spirale (Abb. 1a).

Abb. 1: Aus Rechtecken zusammengesetzte Spirale. Bauteile

Die Rechtecke sind aus einem Papierblatt im Format DIN A4 durch sukzessives Halbieren herausgeschnitten (Abb. 1b) und dann „über Eck“ neu angeordnet worden.

Die Flächeninhalte der Rechtecke in den Formaten DIN A5, DIN A6, DIN A7, ... bilden eine geometrische Folge mit dem Quotienten . Der gesamte Flächeninhalt der Spirale der Abbildung 1a ist der Flächeninhalt des ursprünglichen DIN A4 Papiers. Daraus wird ersichtlich, dass ist.

Wir werden einige weitere Beispiele kennenlernen, wie aus einfachen Ausgangsfiguren durch Zerschneiden und Zusammensetzen, oft auch nur durch Falten, eine neue Figur entsteht.

Als Arbeitsmaterialien brauchen wir wie Jonathan Papier im DIN A4 Format, aber auch quadratisches Papier. Dazu können wir Origami-Papier verwenden oder einfach DIN A4 Papier, das wir auf einer Schneidemaschine auf quadratisches Format zuschneiden. Zur Herstellung einiger Figuren, insbesondere der Fraktale, ist eine Graphiksoftware mit einer Rasterung (zum Beispiel ClarisDraw) hilfreich. Der Quotient der geometrischen Folge wird dann als Skalierungsfaktor eingesetzt.

Das DIN A4 Format

Das DIN A4 Format — auch als Ostwaldsches Rechteck bezeichnet (Flachsmeyer 1990) — kann in verschiedener Hinsicht im Geometrieunterricht verwendet werden (Weber 1995) oder (Walser 1997). Es hat die Eigenschaft, dass sich beim Halbieren zwei zum Ausgangsrechteck ähnliche Rechtecke ergeben (Abb. 2).

Abb. 2: Halbieren eines DIN A4 Papiers

Das große Rechteck und die beiden kleinen haben daher dasselbe Seitenverhältnis. In Formeln heißt das:

Daraus ergibt sich das Seitenverhältnis .

Wir falten nun ein DIN A4 Papier mehrfach und kreuzweise und falten dann das Papier wieder auf. Dadurch entsteht auf dem Papier ein Faltraster (Abb. 3a; wie oft ist dieses Papierblatt in jeder Richtung gefaltet worden?). In diesem Faltraster können wir nun mit einem Filzstift eine Baumfigur mit T-förmigen Verzweigungen einzeichnen (Abb. 3b).

Abb. 3: T-Fraktal im aufgefalteten DIN A4 Blatt

Wenn wir uns diese Verzweigungen bis ins Unendliche fortgesetzt denken, erhalten wir ein Fraktal, das wir das T-Fraktal nennen können. Diese Fortsetzung ins Unendliche ist eine Idealisierung, die in der Realität nicht möglich ist. In der Abbildung 4a sind zwar einige weitere Schritte eingezeichnet, aber es sind immer noch nur endlich viele.

Abb. 4: Baumfraktal und Äste

Wir halbieren nun das Blatt. In jeder Hälfte erscheint ein Ast – den längs halbierten Stamm lassen wir weg – der je eine Kopie des ursprünglichen Baumes im Maßstab ist (Abb. 4b). Auch dies gilt streng genommen nur, wenn wir uns die Figur ins Unendliche fortgesetzt denken.

Das -Rechteck

Das DIN A Format hat die Eigenschaft, dass sich beim Halbieren zwei zum Ausgangsrechteck ähnliche Rechtecke ergeben. Wie muss ein Rechteck aussehen, das in drei zum Ausgangsrechteck ähnliche Rechtecke unterteilt werden kann (Abb. 5a)?

Abb. 5: Drei ähnliche Teilrechtecke

Wenn wir die Schmalseite als Einheit wählen und die lange Seite mit x bezeichnen, ergibt sich die Ähnlichkeitsbedingung

und daraus . Wir können nun je zwei der drei Teilrechtecke weiter unterteilen (Abb. 5b), und dann ein Fraktal bauen, in welchem das unzerteilte Rechteck jeweils der Zweig ist, an den je zwei der nächsten Generation angeheftet werden (Abb. 6). Jeder der beiden Äste ist eine Kopie des ganzen Baumes im Maßstab .

Abb. 6: Fraktal aus dem -Rechteck

Quadratisches Papier

Zunächst falten wir bei einem quadratischen Papier die vier Ecken in die Mitte hinein und falten das nun kleinere Quadrat mehrfach kreuzweise (Abb. 7).

Abb. 7: Falten des quadratischen Papiers

Auffalten liefert nun einen quadratischen Diagonalraster, in welchen wir ebenfalls ein Fraktal, diesmal nicht mit „Ver-zwei-gungen“ wie bei der Abbildung 3b, sondern mit „Ver-drei-gungen“ (Trifurkationen) eintragen können (Abb. 8). Hier ist es so, dass jeder der drei Äste des Baum-Fraktals eine Kopie des ganzen Baumes im Maßstab ist.

Abb. 8: Einzeichnen des Fraktals

Statt eines Linienfraktals können wir aus dem Quadrat aber auch ein Flächenfraktal herstellen. Dazu schneiden wir längs einer Diagonale einmal eine Hälfte ab. Die restliche Hälfte zerlegen wir in vier rechtwinklig gleichschenklige Dreiecke (Abb. 9a), von denen wir zwei an die Basisecken des großen Dreieckes legen (Abb. 9b). Die restlichen zwei Dreiecke zerlegen wir wieder in je vier kleinere Dreiecke, von denen wir je zwei an die Basisecken der vorhergehenden Dreiecke legen und so weiter und so fort.

Abb. 9: Zerlegen eines Quadrates

Das mehrfache Auftreten des kleinen Wörtleins „je“ im obigen Satz hat zur Folge, dass die Anzahl der Dreiecke (und damit der Arbeitsaufwand) rasch anwächst. Bei jedem Schritt sind doppelt so viel Dreiecke zu behandeln wie im vorhergehenden. Für die Anzahlen der Dreiecke ergibt sich die geometrische Folge der Potenzen mit der Basis 2. Wir haben ein exponentielles Wachstum.

Dafür sieht das Resultat schön aus. Die linke Hälfte der Abbildung 10 zeigt das Fraktal, die spiegelbildliche rechte Hälfte ist nur der Ästhetik halber zugefügt worden. Es gibt verschiedene Möglichkeiten, sich klar zu machen, dass sich in dieser Figur Schwarz und Weiß die Waage halten.

Abb. 10: Quadratfraktal

Ansetzen von Quadraten

Statt Quadrate zu zerlegen wollen wir nun Quadrate spiralförmig um ein Startquadrat herum anordnen (Abb. 11a). Wir können natürlich ebensogut auf einem quadratischen Plattenboden durch Hüpfen auf benachbarte Platten eine („eckige“) Spirale beschreiben. Dabei zählen wir die Anzahl der Schritte und schreiben diese Anzahlen auf die Platten. Die Startplatte erhält die Nummer Null (Abb. 11b).

Abb. 11: Spiralförmiges Ansetzen von Quadraten

Wir erkennen nun in den Spiralecken links oben die Folge der Quadrate der geraden Zahlen und rechts unten die ungeraden Quadratzahlen. Die Zahlen in den Ecken rechts oben und links unten sind das geometrische Mittel der beiden benachbarten Quadratzahlen. So ist zum Beispiel . Diese Zahlen sind also von der Form . Wenn wir statt nur einer Spirale vier gleiche Spiralen ansehen, welche simultan nach außen laufen (Abb. 12), ergeben sich ausschließlich Quadratzahlen in den Ecken. Warum ist das so?

Abb. 12: Vier Spiralen

Statt aber immer nur ein Quadrat anzusetzen, was zu einer Spirale führt, können wir auch gleichzeitig auf allen vier Seiten je ein Quadrat anfügen. So entsteht ein Kreuz. Nun nehmen wir das mittlere Quadrat (also das Startquadrat) heraus und erhalten ein „Hohlkreuz“. Um dieses Hohlkreuz legen wir nun vier weitere Hohlkreuze und nehmen das mittlere Hohlkreuz wieder weg und so weiter (Abb. 13).

Abb. 13: Das Kreuz in der Mitte wird weggenommen

Die Anzahl der nach dem Entfernen des mittleren Hohlkreuzes noch vorhandenen Quadrate ist die Folge der Potenzen , also wiederum ein exponentielles Wachstum. Die Abbildung 14 zeigt, wie das einige Schritte später aussieht.

Abb. 14: Hohlkreuz

Literatur

Flachsmeyer, Jürgen: Kniffliges am Ostwaldschen und goldenen Rechteck – Aus der Geometrie des Papierfaltens. - In: Didaktik der Mathematik, 18 (1990) 2, S. 90-105.

Walser, Hans: Ein Zusammenhang zwischen dem DIN-A-Format und dem goldenen Rechteck. - In: PM, Praxis der Mathematik, Köln 39 (1997) 5, S. 197-198.

Weber, Wolfgang: Inkommensurabilität von Seite und Diagonale im Quadrat. - In: PM, Praxis der Mathematik, Köln 37 (1995) 5, S. 200-203.

Anschrift des Autors:

Dr. Hans Walser, Gerlikonerstrasse 29, CH 8500 Frauenfeld

hwalser@bluewin.ch