Hans Walser

Zwei Flächensätze

PH Zürich, 16. November 2024

Zusammenfassung

Es werden zwei dem Autor bis anhin unbekannte Flächensätze im Umfeld des rechtwinkligen Dreieckes besprochen. Dabei spielen der Inkreis und der Flächeninhalt des Dreieckes eine zentrale Rolle. Die Beweise sind mit Methoden der Sekundarstufe 1 durchführbar. Es ergibt sich ein Link zum Goldenen Schnitt.

Last modified: 23.04.24

1 Dreieck und Rechteck

Wir beginnen mit einem rechtwinkligen Dreieck und seinem Inkreis.

Rechtwinkliges Dreieck mit Inkreis

Der Berührungspunkt des Inkreises mit der Hypotenuse unterteilt diese in zwei Abschnitte. Wir bilden das Rechteck aus diesen beiden Hypotenusenabschnitten.

Rechteck aus den Hypotenusenabschnitten

Das Dreieck und das Rechteck haben denselben Flächeninhalt. [Die Maßangaben beziehen sich auf den Radius 1 des Thaleskreises.]

Gleicher Flächeninhalt

2 Beweis

2.1 Rechnerischer Beweis

Wir bezeichnen die Katheten mit a und b. Für die Hypotenuse c gilt nach dem Satz des Pythagoras c = √(a²+ b²). Weiter sei s der halbe Umfang des Dreieckes, also s = ½(a + b +c). Die beiden Hypotenusenabschnitte haben die Länge (s – a) und (s – b). Dies ergibt sich aus der Theorie des Inkreises im Dreieck.

Für den Flächeninhalt des blauen Rechteckes erhalten wir somit:

Flächeninhalt des blauen Rechteckes = (s – a)(s – b)

= s² – sa – sb + ab

= ¼(a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc) – ½(a² + ab + ac) – ½(ab + b² + bc) + ab

= ¼(a² + b² + a² + b² + 2ab + 2ac + 2bc) – ½(a² + ab + ac) – ½(ab + b² + bc) + ab

= ¼(2a² + 2b² + 2ab + 2ac + 2bc) – ½(a² + ab + ac) – ½(ab + b² + bc) + ab

= ½(a² + b² + ab + ac + bc) – ½(a² + ab + ac) – ½(ab + b² + bc) + ab

= ½ab

Das gelbe rechtwinklige Dreieck hat ebenfalls den Flächeninhalt ½ab. Damit ist die Flächengleichheit gezeigt.

2.2 Geometrischer Beweis

Die Tangentenabschnitte an den Inkreis finden sich auch auf je einer Kathete.

Tangentabschnitte

Damit können wir das blaue Rechteck auch anders einpassen.

Andere Einpassung

Eine Ecke des blauen Rechtecks ist nun der Inkreismittelpunkt.

Allerdings überlappen sich nun das Dreieck und das Rechteck.

Überlappung

Wir können die Überlappung in zwei rechtwinklige Dreiecke aufteilen.

Aufteilung der Überlappung

Diese Dreiecke können wir unterhalb der Wasserlinie wieder einsetzen.

Einsetzen

Optisch sieht das gut aus. Wir müssen uns aber überlegen, ob das wirklich stimmt.

Die beiden grünen Dreiecke haben je einen rechten Winkel. Ferner haben sie zwei Scheitelwinkel gemeinsam. Somit sind die beiden grünen Dreiecke zunächst mal ähnlich. Sie haben aber auch zwei gleichlange Katheten von der Länge des Inkreisradius. Daher sind die beiden grünen Dreiecke kongruent. Analog für die beiden magenta Dreiecke.

Durch das Abschneiden der Überlappung und versetztes Einsetzen sehen wir die Flächengleichheit des gelben rechtwinkligen Dreieckes mit dem blauen Rechteck.

Flächengleichheit

3 Dreieck und Quadrat

Die folgende Figur könnte bei oberflächlichem Hinsehen mit der Figur des Höhensatzes verwechselt werden. Der Berührpunkt des Inkreises ist aber in der Regel nicht der Höhenfußpunkt.

Nicht der Höhensatz

Wir zeichnen unter demselben Thaleskreis ein zweites Dreieck ein, das zur Höhensatzfigur passt.

Zweites Dreieck

Höhensatz

Das gelbe rechtwinklige Dreieck, das blaue Rechteck und das rote Quadrat haben nun denselben Flächeninhalt. Da sich das gelbe Dreieck und das rote Quadrat teilweise überlappen, bauen wir die Figur durch Spiegeln um.

Umbau der Figur

Andere Position des roten Quadrates

Wir lassen nun das blaue Rechteck weg. Das gelbe Dreieck hat denselben Flächeninhalt wie das rote Quadrat.

Flächengleichheit

Flächengleichheit

4 Zwischenspiel

Was sehen wir? Man glaubt, einen sich im Raum bewegenden Kreis zu sehen.

Sonnwendlig, Tournesol, Girasole

Tatsächlich ist es eine Verscherung eines Kreises.

Scherung

5 Bahnkurve

Was ist nun die Bahnkurve der rechten unteren Ecke des roten Quadrates?

Bahnkurve?

Die Bahnkurve ist eine Ellipse. Sie hat die implizite Gleichung:

x² + 2xy + 2y² = 1

Sie entsteht durch Verscherung des Einheitskreises mit einem Verscherungswinkel von 45°.

Verscherung

6 Der Goldene Schnitt

Mit Φ = (1 + √5)/2 ≈ 1.618 bezeichnen wir den Goldenen Schnitt. Der Goldene Schnitt kommt im verscherten Einheitskreis an verschiedenen Orten vor.

6.1 Ellipsenachsen

Die lange Halbachse der Ellipse hat die Länge Φ und die Steigung –1/Φ.

Die kurze Halbachse der Ellipse hat die Länge 1/Φ und die Steigung Φ.

Ellipsenachsen

6.2 Goldenes Rechteck

Die Schnittpunkte der Ellipse mit dem Einheitskreis definieren ein Rechteck. Es hat das Seitenverhältnis Φ:1, ist also das sogenannte Goldene Rechteck.

Goldenes Rechteck

Weblinks

Hans Walser: Miniaturen: Goldener Schnitt

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen_Uebersicht/Goldener_Schnitt/index.html

Literatur

Walser, Hans (2024): Der Goldene Schnitt. Geometrische und zahlentheoretische Betrachtungen. 7. Auflage. Springer Spektrum.
Print-ISBN 978-3-662-68556-3. E-Book_ISBN 978-3-662-68557-0.
https://doi.org/10.1007/978-3-662-68557-0