Hans Walser, [20120512a]
38-FlŠchner
Wir konstruieren ein
Polyeder mit 38 SeitenflŠchen.
Die Abbildung 1 zeigt
Zwšlfkant-Prismen in drei orthogonalen Orientierungen.
Abb. 1:
Zwšlfkant-Prismen
SŠmtliche SeitenflŠchen
haben jeweils vom Mittelpunkt denselben Abstand. Die Prismen haben also eine
Inkugel. Wir normieren den Inkugelradius auf 1.
Wir nehmen nun den
Durchschnitt dieser drei Zwšlfkant-Prismen (Abb. 2).
Abb. 2: Durchschnitt der
drei Zwšlfkant-Prismen
Es entsteht ein
Polyeder, das von vorn, von der Seite und von oben ein regelmŠ§iges Zwšlfeck
als Umriss hat. Die Abbildung 3 zeigt den Blick von oben (Vogelperspektive).
Abb. 3: Blick von oben
Das Polyeder hat 30
SeitenflŠchen, welche alle vom Mittelpunkt denselben Abstand haben. Sechs davon
sind Quadrate. Ihre Ebenen liegen auf den SeitenflŠchen eines WŸrfels. Die
restlichen 24 SeitenflŠchen sind gleichschenklige Trapeze. Die Abbildung 4
zeigt eine frontale Sicht auf ein solches Trapez.
Abb. 4: Sicht auf ein
Trapez
Das Polyeder kann
interpretiert werden als WŸrfel, auf dessen sechs SeitenflŠchen Pyramidenstumpfe
aufgebaut sind.
Nun schneiden wir noch
die acht WŸrfelecken ab, und zwar so, dass die Schnittebenen vom Mittelpunkt
denselben Abstand haben wie die Ÿbrigen SeitenflŠchen, also den Inkugelradius 1
(Abb. 5). Wir erhalten dadurch acht zusŠtzliche SeitenflŠchen, haben also einen
38-FlŠchner. Die bisherigen Trapeze werden zu unregelmŠ§igen Sechsecken.
Abb. 5: Polyeder mit 38
SeitenflŠchen
Die neuen SeitenflŠchen
sind Sechsecke, aber keine regelmŠ§ige Sechsecke. Sie haben nur drei Symmetrieachsen.
Die Abbildung 6 zeigt eine Frontalansicht eines solchen Sechsecks. Die Ebenen
dieser acht Sechsecke liegen auf einem Oktaeder.
Abb. 6: Frontalansicht
eines Sechsecks
Der 38-FlŠchner hat
eine Inkugel mit dem Radius 1. Eine dazu konzentrische Kugel mit einem
geringfŸgig grš§eren Radius schneidet daher aus allen SeitenflŠchen gleich
gro§e Kreise heraus. Wir wŠhlen fŸr diese konzentrische Kugel den Radius . Die Abbildung 7 zeigt die Vereinigung, die Abbildung 8 den
Durchschnitt dieser Kugel mit dem 38-FlŠchner.
Abb. 7: Vereinigung mit
Kugel
Abb. 8: Durchschnitt mit
Kugel