Hans Walser, [20130727a]

Dreieck und Sechseck

Anregung: H. K. S., L.

1        Worum geht es?

Die Abbildung 1 zeigt eine gemeinsame Zerlegung eines Dreieckes und eines dazu flŠchengleichen Sechseckes.

 

Abb. 1: Zerlegungsgleiche Figuren

 

Wie finden wir die Puzzle-Teile?

2        FlŠchengleiche Figuren

Auf dem Einheitskreis zeichnen wir zwšlf Punkte in gleichen AbstŠnden, also die Eckpunkte des regelmŠ§igen Zwšlfecks, und dazu das rote Dreieck und das blaue Sechseck gemŠ§ Abbildung 2.

 

Abb. 2: Im Zwšlfeck

 

Das rote Dreieck hat den Inkreisradius  und daher den FlŠcheninhalt . Das blaue Sechseck hat den Umkreisradius 1 und daher den FlŠcheninhalt . Die beiden Figuren sind also flŠchengleich.

3        Konstruktion der Zerlegung

Die Abbildung 3 zeigt nun das Puzzle-Teil, das zum SchlŸssel der gemeinsamen Zerlegung wird. Es ist ein Ausschnitt aus dem regelmŠ§igen Zwšlfeck.

 

Abb. 3: Puzzle-Teil

 

Mit drei solcher Puzzle-Teile, jeweils um 120¡ verdreht, kšnnen wir das rote Dreieck bis auf drei kleine Dreiecke an den Ecken ausfŸllen (Abb. 4).

 

Abb. 4: Puzzle-Teile im Dreieck

 

Andererseits kšnnen wir mit denselben drei Puzzle-Teilen das blaue Sechseck so belegen, dass in der Mitte ein Dreieck Ÿbrig bleibt (Abb. 5).

 

Abb. 5: Puzzle-Teile im Sechseck

 

Bleibt noch das Restproblem, das dreieckige Loch im Zentrum des blauen Sechseckes auf die drei kleinen Dreiecke an den Ecken des roten Dreiecks zu verteilen. Wir mŸssen also ein Dreieck dritteln. Die Abbildung 6 zeigt, wie das geht.

 

Abb. 6: Drittelung des Dreiecks

 

Damit erhalten wir die gemeinsame Zerlegung der Abbildung 1.