Hans Walser, [20220214]
3d-Schneeflocke
1 Worum geht es?
Die Schneeflocke von Helge van Koch wird in den Raum verallgemeinert.
2 Konstruktion auf dem Dreieck
Die Kantenmitten eines gleichseitigen gelben Dreiecks definieren ein kleines gleichseitiges Dreieck, auf das wir ein regelmäßiges Tetraeder aufsetzen (Abb. 1). Nun sind von oben sechs kleine gleichseitige Dreiecke sichtbar, drei gelbe als Teile des Startdreiecks und drei rote als Seitenflächen des aufgesetzten Tetraeders. In die Mitte dieser Dreiecke setzen wir wiederum Tetraeder. Wegen einer Winkeleigenschaft haben diese Tetraeder teilweise gemeinsame Kanten. Und so weiter.
Abb. 1: Konstruktion auf der Basis eines gleichseitigen Dreiecks
In der Grenzlage entsteht eine Pyramide, deren Seitenflächen rechtwinklig gleichschenklige Dreiecke sind (Abb. 2)(Würfelecke, Würfelecke und Davidstern).
Abb. 2: Pyramide
Bei der Sicht von oben bleibt die Spitze des ersten Tetraeders durchwegs erhalten. Bei der Sicht von unten drücken diejenigen Tetraeder durch, welche direkt auf dem gelben Dreieck stehen (Abb. 3). Es entsteht ein Sierpinksi-Dreieck.
Abb. 3: Sicht von oben und von unten
3 Konstruktion auf dem Tetraeder
Die Konstruktion auf der Basis eines gleichseitigen Dreiecks führen wir nun auf jedem der vier Seitendreiecke eines Tetraeders durch (Abb. 4). Die erste Generation ist der Keplerstern. Die Grenzlage ist ein Würfel.
Abb. 4: Schneeflocke im Raum
Websites
Hans Walser: Winkel im Tetraeder
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/W/Winkel_im_Tetraeder/Winkel_im_Tetraeder.html
Hans Walser: Schneeflocke als Baumfraktal
Hans Walser: Schneeflocke
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/S/Schneeflocke/Schneeflocke.html
Hans Walser: Würfelecke
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/W/Wuerfelecke2/Wuerfelecke2.html
Hans Walser: Würfelecke und Davidstern
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/W/Wuerfelecke/Wuerfelecke.htm