Hans Walser, [20240912]

4-Punkte-Satz

Anregung: Dmitrij Nikolenkov (ETH Zürich)

1 Worum es geht

Eine einparametrige Schar von Kegelschnitten durch vier gegebene Punkte

2 Geradengleichung

Wir schreiben die Gleichung der Geraden durch zwei Punkte A und B in der Form:

gAB = 0

Mit den Koordinaten A = [xA, yA] und B = [xB, yB] ist:

gAB := (y – yA) (xB – xA) – (x – xA) (yB – yA)

Man beachte, dass gAB ein Term ist, keine Gleichung. Aus der Gleichung gAB = 0 ergibt sich die Geradengleichung:

(y – yA) (xB – xA) – (x – xA) (yB – yA) = 0

Die Gleichung ist linear in x und y, also eine Geradengleichung. Durch Einsetzen der Koordinaten von A beziehungsweise B sehen wir, dass die Gerade durch A und B verläuft.

3 Vier Punkte und ein Kegelschnitt

Zu vier gegebenen Punkten A, B, C und D definieren wir entsprechend die Terme gAB, gBC, gCD, gDA.

Weiter wählen wir zwei Parameter λ und μ und definieren damit den Term:

λ gAB gCD + μ gBC gDA

Dieser Term ist quadratisch in x und y. Die Gleichung

λ gAB gCD + μ gBC gDA = 0

ist also eine Kegelschnittgleichung. Der Kegelschnitt verläuft durch die vier Punkte A, B, C und D.

Beispiel 1: Mit den Punkten A = [1, 0.8], B = [0, 1], C = [–1, 0] und D = [0.3, –1] sowie den Parameterwerten λ = 1.5 und μ = 0.6 ergibt sich die Ellipse (Abb. 1) mit der Gleichung:

1.5 (–y + 1.0 – 0.2 x) (1.3 y + x + 1) + 0.6 (–y + 1 + x) (0.7 y + 1.24 – 1.8 x) = 0

Vereinfacht:

–2.37 y² – 0.390 y x + 0.126 y + 0.864 x + 2.244 – 1.38 x² = 0

Abb. 1: Ellipse

Mit denselben Punkten, aber den Parameterwerten λ = 1.5 und μ = –0.6 ergibt sich die Hyperbel (Abb. 2) mit der Gleichung:

1.5 (–y + 1.0 – 0.2 x) (1.3 y + x + 1) – 0.6 (–y + 1 + x) (0.7 y + 1.24 – 1.8 x) = 0

Vereinfacht:

–1.5 y² – 3.390 y x + 0.774 y + 1.536 x + 0.756 + 0.78 x² = 0

Abb. 2: Hyperbel

4 Diskussion der Parameter

Die beiden Parameter λ und μ dürfen nicht beide null sein, da sonst jeder Punkt der Ebene in die Lösungsmenge passt.

Für λ ≠ 0 und μ = 0 ergeben sich die beiden Geraden durch A, B beziehungsweise C, D (Abb. 3).

Abb. 3: Zwei Geraden

Für λ = 0 und μ ≠ 0 ergeben sich entsprechend die beiden Geraden durch B, C beziehungsweise D, A.

Die beiden Parameter λ und μ sind homogen, das heißt bei Multiplikation beider Parameter mit demselben Faktor ändert sich nichts. Wesentlich ist nur das Verhältnis der beiden Parameter. Wir können daher die beiden Parameter λ und μ von einem dritten Parameter t abhängig machen, zum Beispiel durch:

λ = cos(t), μ = sin(t), t ∈ [0, π) (die Obergrenze π genügt, da nachher bei beiden Parametern ein Faktor –1 dazukommt)

Die Abbildung 4 zeigt unser Beispiel mit allen möglichen Verhältnissen der beiden Parameter λ und μ.

Abb. 4: Variation der Parameter

5 Sonderfälle

Die Sonderfälle beziehen sich auf spezielle Anordnungen der vier gegebenen Punkte.

5.1 Quadrat

Abb. 5: Quadrat

5.2 Höhenschnittpunkt

Der Punkt D sei der Höhenschnittpunkt des Dreiecks ABC.

Wir haben ausschließlich gleichseitige Hyperbeln (mit orthogonalen Asymptoten) (Abb. 6).

Abb. 6: Gleichseitige Hyperbel

Der Mittelpunkt der gleichseitigen Hyperbeln läuft auf dem Feuerbachkreis des Dreiecks ABC (Abb. 7).

Abb. 7: Mittelpunkt auf Feuerbachkreis

5.3 Schwerpunkt

Der Punkt D sei der Schwerpunkt des Dreiecks ABC (Abb. 8). Wir erhalten ausschließlich Hyperbeln. Der Schnittwinkel der Asymptoten variiert.

Abb. 8: Schwerpunkt

Der Mittelpunkt der Hyperbeln läuft auf der Ellipse, welche die Dreieckseiten in den Dreieckmittelpunkten berührt (Abb. 9).

Abb. 9: Mittelpunkt auf Ellipse

6 Variante

Wir arbeiten mit der Gleichung

λ gAB gBC + μ gCD gDA = 0

Die Abbildung 10 zeigt die Situation für A = [1, 0.8], B = [0, 1], C = [–1, 0] und D = [0.3, –1] sowie den Parameterwerten λ = 1.5 und μ = 0.6. Wir erhalten eine Hyperbel, aber die Punkte B und D werden vermieden.

Abb. 10: Variante

Die Abbildung 11 zeigt die zugehörige Animation. Die Punkte B und D werden nur im Sonderfall zweier sich schneidenden Geraden erreicht.

Abb. 11: Animation

Die Abbildung 12 zeigt einen größeren Ausschnitt.

Abb. 12: Größerer Ausschnitt