1 Worum es geht

Schulbeispiel zum Thema Zwischenwinkel

2 Zwischenwinkel 45°

Für beliebiges reelles a haben die beiden Vektoren

einen Zwischenwinkel von 45° (Abb. 1).

Abb. 1: Zwischenwinkel 45°

Die Spitzen der beiden Vektoren laufen auf je einer Geraden (Abb. 2).

Abb. 2: Spitzen der Vektoren

3 Beweis der Zwischenwinkeleigenschaft

Beweis rechnerisch. Für den Zwischenwinkel γ erhalten wir:

4 Illustrationen

4.1 Rechtwinklig gleichschenkliges Dreieck

Die beiden Vektoren spannen ein rechtwinklig gleichschenkliges Dreieck auf (Abb. 3)

Abb. 3: Rechtwinklig gleichschenkliges Dreieck

Damit ergibt sich ein einfacherer Beweis für die Zwischenwinkeleigenschaft. Für die Differenz der beiden Vektoren erhalten wir:

Dieser Vektor ist orthogonal und gleich lang wie der kürzere der beiden Vektoren. Die beiden Vektoren spannen also tatsächlich ein rechtwinklig gleichschenkliges Dreieck auf. Daraus ergibt sich der Zwischenwinkel 45°.

Der Thaleskreis des rechtwinklig gleichschenkligen Dreiecks verläuft durch den Schnittpunkt der beiden blauen Geraden (Abb. 4).

Abb. 4: Thaleskreis

4.2 Quadrat

Die Vektorfigur lässt sich in ein Quadrat einbetten (Abb. 5).

Abb. 5: Einbettung in Quadrat