Hans Walser, [20120701]

6er-Reihe und Primzahlen

Anregung: A. W.

1        Tabelle

In der Tabelle sind die Zahlen der 6er-Reihe, also die Zahlen von der Form  grźn unterlegt. Die beiden Primzahlen 2 und 3 sind blau unterlegt, die źbrigen Primzahlen rot.

Tabelle

Wir stellen fest, dass die Primzahlen mit Ausnahme der Primzahlen 2 und 3  ausschlie§lich in unmittelbarer Nachbarschaft von Sechser-Zahlen stehen. Gilt dies allgemein, fźr beliebig gro§e Zahlen?

2        †berlegung

Die Zahlen, welche von den Sechser-Zahlen den Abstand 2 haben, also die Zahlen von der Form  sind gerade, also durch 2 teilbar und mit Ausnahme der Zahl 2 keine Primzahlen.

Die Zahlen, welche von den Sechser-Zahlen den Abstand 3 haben, also die Zahlen von der Form  sind durch 3 teilbar und mit Ausnahme der Zahl 3 keine Primzahlen.

Grš§ere AbstŠnde von Sechser-Zahlen gibt es nicht.

Die Zahlen, welche von den Sechser-Zahlen den Abstand 1 haben, also die Zahlen von der Form  sind weder durch 2 noch durch 3 teilbar. Sie sind also entweder eine Primzahl  oder eine zusammengesetzte Zahl mit Primfaktoren .

Die Tabelle listet die FŠlle auf:

Teilbarkeiten und Primfaktoren

Zwischen zwei Primzahlzwillingen (mit Ausnahme des Zwillingspaares 3 und 5) ist also immer eine Sechserzahl.

Bemerkung: Die Dichte der Primzahlen nimmt mit wachsenden Zahlen ab.