Hans Walser, [20210128], [2020203]

7 Dreiecke

1     Worum geht es?

Eine FlŠcheninvariante mit sieben gleichseitigen Dreiecken

2     Schritt um Schritt

Wir fŸgen drei rote gleichseitigen Dreiecke an einer Ecke aneinander (Abb. 1).

Abb. 1: Drei rote gleichseitige Dreiecke

An die freien Au§enecken setzen wir blaue gleichseitige Dreiecke mit der Spitze nach innen an (Abb. 2).

Abb. 2: Drei blaue gleichseitige Dreiecke mit der Spitze nach innen

Dann gilt folgendes:

Die freien inneren Spitzen der blauen Dreiecke sind die Ecken eines weiteren gleichseitigen Dreieckes.

Dieses zeichnen wir wieder rot (Abb. 3).

Wir haben also eine Art Schlie§ungsfigur mit sieben gleichseitigen Dreiecken.

Abb. 3: Siebentes gleichseitiges Dreieck. Rot = blau

Weiter gilt die FlŠchenbeziehung:

Die FlŠchensumme der vier roten Dreiecke ist gleich der FlŠchensumme der drei blauen Dreiecke.

3     Beweise

Der Beweis ist eine idyllische RechenaffŠre.

Wir verwenden die Bezeichnungen der Abbildung 4.

Abb. 4: Bezeichnungen

Der Startpunkt (gemeinsame Ecke der drei roten Startdreiecke) ist der Koordinatenursprung O.

Durch die Wahl von A0, A1 und A2 ist die ganze Konfiguration definiert.

Wir setzen:

 

                                                        

 

Zusammen mit dem Ursprung kšnnen wir die Punkte Pi berechnen:

 

                               

 

Weiter berechnen wir die Punkte Qi:

 

                     

 

Wir berechnen die dritte Ecke Qfin des durch Q0 und Q1 definierten Dreiecks:

 

                   

 

Wir sehen, dass dies mit Q2 Ÿbereinstimmt. Damit ist die Schlie§ungseigenschaft gezeigt.

FŸr die FlŠchensumme der vier roten Dreiecke erhalten wir:

 

   

 

FŸr die FlŠchensumme der drei blauen Dreiecke entsprechend:

 

   

 

Die beiden FlŠchensummen sind gleich. Dies war zu zeigen.