Hans Walser, [20190928]
9-Eck
Anregung: Jšrg Meyer, Hameln, und Hartmut Mźller-Sommer, Vechta
1 Worum geht es?
Mit Hilfe einer Hyperbel wird ein regelmŠ§iges 9-Eck konstruiert. Schlźssel zur Konstruktion ist die Winkeldrittelung nach Bolyai.
Nach einem Satz von Gau§ ist ein regelmŠ§iges 9-Eck nicht mit Zirkel und Lineal konstruierbar.
2 Vorgehen
Wir
beginnen mit der Hyperbel 
(Abb. 1). Es
genźgt der Ast im ersten Quadranten.
Abb. 1: Hyperbel
Die
Hyperbel schneiden wir mit dem Kreis mit dem Ursprung O als Zentrum dem Radius 2 (Abb. 2). Die beiden Schnittpunkte
nennen wir 
und 
.
Abb. 2: Schnitt mit Kreis mit Radius 2. Gleichseitiges Dreieck
Zwischenbemerkung: Die beiden Schnittpunkte bilden zusammen mit dem Ursprung ein gleichseitiges Dreieck.
Um 
zeichnen
wir einen Kreis mit dem Radius 4 und schneiden diesen Kreis mit der Hyperbel in
gemŠ§ Abbildung
3.
Abb. 3: Kreis mit Radius 4
Den
Mittelpunkt 
der
Strecke 
verbinden
wir mit dem Ursprung O (Abb. 4).
Abb. 4: Mittelpunkt
Nun
wiederholen wir spiegelbildlich das Prozedere mit dem Punkt 
(Abb. 5).
Abb. 5: Spiegelbildliches Vorgehen
Der
Winkel 
misst exakt
40ˇ und ist der Zentriwinkel des gesuchten regelmŠ§igen 9-Ecks (Abb. 6).
Abb. 6: RegelmŠ§iges 9-Eck
3 Hintergrund
GemŠ§ der
Zwischenbemerkung źber das gleichseitige Dreieck und einer Symmetrieźberlegung
hat die Strecke 
gegenźber
der x-Achse einen Steigungswinkel
75ˇ. Das weitere Vorgehen ist die Winkeldrittelung nach Bolyai. Daher hat die
Strecke 
gegenźber
der x-Achse einen Steigungswinkel
25ˇ. Analog hat die Strecke 
gegenźber
der y-Achse einen Winkel 25ˇ.
Dazwischen bleiben 40ˇ.
Websites
Hans Walser: Gleichseitiges Dreieck?
www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/G/Gleichseitiges_Dreieck/Gleichseitiges_Dreieck.htm