Hans Walser, [20150307]
Ableitung der Sinusfunktion
Zum
Funktionsgraphen der Sinusfunktion werden die Steigungen graphisch ermittelt
und als Funktion skizziert. Das legt die Vermutung nahe.
Mit dem Additionstheorem fźr die Sinusfunktion erhalten wir:
In beiden Limites haben wir eine ăNull zu nullŇ-Situation. Das mahnt zur Vorsicht.
Wir erhalten:
h |
|
|
1.00000 |
0.84147 |
–0.45970 |
0.10000 |
0.99833 |
–0.04996 |
0.01000 |
0.99998 |
–0.00500 |
0.00100 |
1.00000 |
–0.00050 |
0.00010 |
1.00000 |
–0.00005 |
0.00001 |
1.00000 |
–0.00000 |
Tab. 1: Experiment
Auf Grund
des Experimentes vermuten wir und
. Damit haben wir erneut die Vermutung:
Wir arbeiten mit den drei in der Abbildung 1 eingezeichneten Figuren.
Abb. 1: Beweisfiguren
Die drei
Figuren haben der Reihe nach die FlŠcheninhalte ,
und
. Es ist auf Grund der Abbildung 1:
Daraus ergibt sich:
Fźr den
Limes erhalten
wir daher:
Dabei ist
zu beachten, dass beim Grenzźbergang die <-Relation durch die ˛-Relation zu
ersetzen ist. Dies kann am Beispiel , aber
eingesehen
werden.
Somit ist
eingeklemmt zwischen 1 und 1 und daher
selber 1. Die Mathematiker verwenden fźr diesen Gedankengang die etwas
widersprźchliche Formulierung ăexakte AbschŠtzungŇ.
Aus folgt
unmittelbar:
. Wir werden diesen Sachverhalt im Folgenden
verwenden.
Das grźne
rechtwinklige Dreieck der Abbildung 2 hat die HypotenusenlŠnge . Der kleinere der beiden spitzen Winkel ist
. Daher misst die kurze Kathete
.
Abb. 2: Geometrische †berlegung
Andererseits
ist die kurze Kathete auch . Somit haben wir:
Mit dem Additionstheorem fźr die Kosinusfunktion erhalten wir:
Somit ist:
Fźr die Ableitung der Sinusfunktion gilt daher:
Uff.