Hans Walser, [20090124a]
Abnehmende Zickzacklinien
Anregung: R. E.
Wie verhalten sich die beiden Zickzacklinien?
Harmonisch abnehmende Zickzacklinie
Exponentiell abnehmende Zickzacklinie
Wir
fźhren ein Koordinatensystem und Bezeichnungen gemŠ§ Arbeitsfigur ein. Gegeben
seien die drei Punkte ,
und
sowie die Gerade q mit der Gleichung
. Die Gerade p ist
die y-Achse.
Arbeitsfigur
Wir
verbinden mit
(Gerade
) und schneiden mit q,
das gibt
. Nun schneiden wir
(Gerade
) mit p und
erhalten
. Schnitt von
mit q gibt
und so weiter.
Wir
erhalten dann der Reihe nach: ,
,
,
, ... . Allgemein
gilt:
Die y-Koordinaten bilden abnehmende harmonische Folgen.
Beweis induktiv:
(I) ist gegeben.
(II) Aus erhalten wir fźr
die Gerade
die Gleichung
. Schnitt mit der Geraden
ergibt
. Die Gerade
hat dann die
Gleichung
. Schnitt mit der Geraden
liefert
. Ł
Wir
fźhren wiederum ein Koordinatensystem und Bezeichnungen gemŠ§ Arbeitsfigur ein.
Die Nummerierung der Punkte und
beginnt aus
Šsthetischen Grźnden mit Null. Gegeben seien die drei Punkte
,
und
sowie die senkrechte
Gerade q mit der Gleichung
. Die Gerade p ist
wiederum die y-Achse.
Arbeitsfigur
Wir
verbinden mit
(Gerade
) und schneiden mit q,
das gibt
. Nun schneiden wir
(Gerade
) mit p und erhalten
. Schnitt von
mit q gibt
und so weiter.
Wir
erhalten der Reihe nach: (wie im oberen
Fall der harmonischen Zickzacklinie),
(ebenfalls wie
oben),
,
, ... . Allgemein
gilt:
Die y-Koordinaten sind geometrische Folgen
mit dem Quotienten ; wir haben also einen exponentiellen Zerfall.
Beweis induktiv:
(I) , also
, ist gegeben.
(II) Auf
Grund der StrahlensŠtze ist , also
. Weiter ist
, also
. Somit ist
. Aus
ergibt sich daraus
. Ł