Hans Walser, [20250915]

Abstandsverhältnis

Idee und Anregung: Thomas Jahre, Aufgabe 70-834

1 Problemstellung

Im Quadratraster arbeiten wir mit dem Einheitsquadrat (gelb in Abb. 1) mit den Ecken:

Abb. 1: Einheitsquadrat

Gesucht ist nun ein Punkt, so dass die Abstände von diesem Punkt zu den drei Punkten A₁, A₂, A₃ sich verhalten wie 1:2:3 .

2 Konstruktion

2.1 Apolloniuskreise

Für Verhältnisaufgaben sind Apolloniuskreise hilfreich.

Wir zeichnen den Apolloniuskreis zu den Punkten A₁, A₂ für das Verhältnis 1:2 (Abb. 2.1).

Abb. 2.1: Erster Apolloniuskreis

Dann zeichnen den Apolloniuskreis zu den Punkten A₂, A₃ für das Verhältnis 2:3 (Abb. 2.2).

Abb. 2.2: Zweiter Apolloniuskreis

Der Kontrolle halber zeichnen wir auch noch den Apolloniuskreis zu den Punkten A₁, A₃ für das Verhältnis 1:3 (Abb. 2.3).

Abb. 2.3: Dritter Apolloniuskreis

Die beiden Schnittpunkte (rot und grün in Abb. 2.3) sind die gesuchten Punkte.

Sie haben die Koordinaten:

2.2 Abstände

Nun können wir die Abstände zu den Quadratecken berechnen und zeichnen.

Für den Punkt P₁ (Abb. 3.1) erhalten wir für die Abstände zu den vier Quadratecken ein Verhältnis 1:2:3:√6 .

Abb. 3.1: Abstände zu den Ecken

Für den Punkt P₂ (Abb. 3.2) erhalten wir für die Abstände zu den vier Quadratecken ebenfalls das Verhältnis 1:2:3:√6 .

Abb. 3.2: Zweite Lösung

Grün zu rot verhält sich wie:

3 Winkel

Wir zeichnen zusätzlich den Umkreis des unter dem gelben Einheitsquadrat liegenden Quadrates (Abb. 4). Dieser Umkreis verläuft ebenfalls durch unsere beiden Lösungspunkte (Verifikation durch Nachrechnen).

Abb. 4: Umkreis

Dieser Umkreis ist der Ortsbogen über der Strecke A₁ A₂ für die Winkel 135° beziehungsweise 45°.

Daher ist:

∢( A₁, P₁, A₂) = 135°
∢( A₁, P₂, A₂) = –45°

Diese Winkeleigenschaft war Ausgangspunkt der ursprünglichen Aufgabe von Thomas Jahre.

Die beiden Winkel ergänzen sich (algebraisch gerechnet) auf 90°. Dasselbe tun auch die anderen entsprechenden Winkel:

∢( A₂, P₁, A₃) ≈ 64.471°
∢( A₂, P₂, A₃) ≈ 25.529°

∢( A₃, P₁, A₄) ≈ 60.793°
∢( A₃, P₂, A₄) ≈ 29.207°

∢( A₄, P₁, A₁) ≈ 99.736°

∢( A₄, P₂, A₁) ≈ –9.736°

Weblinks

Thomas Jahre: Aufgabe 70-834

https://www.schulmodell.eu/aufgabe-der-woche.html