Hans Walser, [20190629]
Abwicklungsgleiche Deltaeder
Anregung: T. D., D.
1 Worum geht es?
Beispiel von zwei Deltaedern, welche dieselbe Abwicklung haben und auch mit denselben Streifen als Flechtmodell gebaut werden kšnnen.
2 Welches Polyeder passt zur Abwicklung?
Die Abbildung 1 zeigt eine Abwicklung. Welches Polyeder passt dazu?
Abb. 1: Welches Polyeder passt?
Das Polyeder besteht aus 24 gleichseitigen Dreiecken, ist also ein Deltaeder. Es kann nicht konvex sein, da es Eckpunkte mit sechs ansto§enden gleichseitigen Dreiecken hat.
3 Lšsungen
Abb. 2: Zwei Lšsungen
Es gibt (mindestens) zwei verschiedene Lšsungen (Abb. 2). Diese beiden Lšsungen sind als Flechtmodelle gebaut.
Die erste Lšsung (links in Abb. 2) besteht aus einem Wźrfel mit aufgesetzten Pyramiden, deren Manteldreiecke gleichseitig sind (Abb. 3a).
Abb. 3: Erste Lšsung
Die zweite Lšsung entsteht, indem wir an den rot markierten Punkten (Abb. 3b) in die Wźrfelmitte drźcken. Dabei ist ein kleiner Widerstand zu źberwinden, und nachher schnappt es ein.
Dieser Widerstand rźhrt daher, dass der Prozess nicht lŠngentreu mšglich ist. Die SeitenlŠngen der Dreiecke werden beim Prozess teilweise verŠndert. Da die VerŠnderung aber weniger als 5% betrŠgt, kann sie durch die ElastizitŠt des Flechtmodells aufgefangen werden. In der Endlage (rechts in Abb. 2) haben wir wieder gleichseitige Dreiecke.
4 Flechtmodelle
Die Flechtmodelle kšnnen aus je vier Streifen (Abb. 4) gebaut werden.
Abb. 4: Flechtstreifen
Die blauen Linien sind Bergfalte, die roten Linien sind Talfalte. Der grau getšnte Bereich dient der Verheftung mit †berlappung. Die Abbildung 5 zeigt vier Flechtstreifen in verschiedenen Farben.
Abb. 5: Flechtstreifen
Die Abbildung 6 zeigt die beiden Lšsungen in Farbe.
Abb. 6: Farbige Flechtmodelle
Die Abbildung 7 zeigt die entsprechend gefŠrbte gemeinsame Abwicklung.
Abb. 7: Farbige Abwicklung
5 Keplerstern
Mit denselben vier Streifen der Abbildung 5 kšnnen wir auch den Keplerstern flechten (Abb. 8).
Abb. 8: Kepler-Stern
Der Keplerstern hat allerdings eine andere Abwicklung (Abb. 9).
Abb. 9: Abwicklung des Kepler-Sterns