Hans Walser, [20121126]

Achteck

Wir bauen ein nostalgisches Fraktal nach folgender Idee.

1        Dreiecke halbieren

Wir beginnen mit einem rechtwinklig gleichschenkligen Dreieck und halbieren dieses. Dann klappen wir die beiden Teildreiecke nach au§en und wiederholen den Prozess. Die Abbildung 1 zeigt die ersten Schritte. Im Folgenden zeichnen wir nur noch das Kathetenprofil, in der Abbildung 1 die Spalte ganz rechts.

Abb. 1: Die ersten Schritte

Die Abbildung 2 zeigt die Folge der Kathetenprofile.

Abb. 2.0: Start

Abb. 2.1: Generation 1

Abb. 2.2: Generation 2

 

Abb. 2.3: Generation 3

Bei der nŠchsten Generation beginnen die †berlappungen.

Abb. 2.4: Generation 4

Abb. 2.5: Generation 5

Abb. 2.6: Generation 6

Abb. 2.7: Generation 7

Abb. 2.8: Generation 8

Abb. 2.9: Generation 9

Abb. 2.10: Generation 10

Abb. 2.11: Generation 11

Abb. 2.12: Generation 12

Abb. 2.13: Generation 13


2        Das Achteckfraktal

Noch aber haben wir kein Achteck. Dieses erhalten wir durch Spiegeln nach unten (Abb. 3). Das Achteck ist nicht regelmŠ§ig. Es hat die Symmetriegruppe des Quadrates.

Abb. 3: Achteckfraktal


3        Der Baum

Die Abbildung 4 entspricht der Abbildung 1. Es sind nun aber die Wege eingezeichnet, welche die Ecken mit den rechten Winkeln beim Hinausklappen nehmen. So entsteht eine Baumfigur.

Abb. 4: Baumfigur

Die Abbildung 5 zeigt die Folge der Baumfiguren.

Abb. 5.1: Generation 1

Abb. 5.2: Generation 2

Abb. 5.3: Generation 3

Bei der nŠchsten Generation fangen die †berlappungen an.

Abb. 5.4: Generation 4

Abb. 5.5: Generation 5

Abb. 5.6: Generation 6

Abb. 5.7: Generation 7

Abb. 5.8: Generation 8

Abb. 5.9: Generation 9

Abb. 5.10: Generation 10

Abb. 5.11: Generation 11

Abb. 5.12: Generation 12


4        Achteckfraktal zum zweiten

Durch Spiegeln erhalten wir wiederum ein Achteckfraktal (Abb. 6).

Abb. 6: Achteckfraktal

Das Fraktal ist vom fraktalen Standpunkt aus identisch mit dem Kathetenkontur-Fraktal der Abbildung 3.

5        Fraktale Dimension

FŸr die fraktale Dimension D gilt die Mandelbrot-Formel:

 

 

In unserem Beispiel ist  und . Daraus ergibt sich .