Hans Walser, [20121126]
Achteck
Wir bauen ein nostalgisches Fraktal nach folgender Idee.
Wir beginnen mit einem rechtwinklig gleichschenkligen Dreieck und halbieren dieses. Dann klappen wir die beiden Teildreiecke nach au§en und wiederholen den Prozess. Die Abbildung 1 zeigt die ersten Schritte. Im Folgenden zeichnen wir nur noch das Kathetenprofil, in der Abbildung 1 die Spalte ganz rechts.
Abb. 1: Die ersten Schritte
Die Abbildung 2 zeigt die Folge der Kathetenprofile.
Abb. 2.0: Start
Abb. 2.1: Generation 1
Abb. 2.2: Generation 2
Abb. 2.3: Generation 3
Bei der nŠchsten Generation beginnen die †berlappungen.
Abb. 2.4: Generation 4
Abb. 2.5: Generation 5
Abb. 2.6: Generation 6
Abb. 2.7: Generation 7
Abb. 2.8: Generation 8
Abb. 2.9: Generation 9
Abb. 2.10: Generation 10
Abb. 2.11: Generation 11
Abb. 2.12: Generation 12
Abb. 2.13: Generation 13
Noch aber haben wir kein Achteck. Dieses erhalten wir durch Spiegeln nach unten (Abb. 3). Das Achteck ist nicht regelmŠ§ig. Es hat die Symmetriegruppe des Quadrates.
Abb. 3: Achteckfraktal
Die Abbildung 4 entspricht der Abbildung 1. Es sind nun aber die Wege eingezeichnet, welche die Ecken mit den rechten Winkeln beim Hinausklappen nehmen. So entsteht eine Baumfigur.
Abb. 4: Baumfigur
Die Abbildung 5 zeigt die Folge der Baumfiguren.
Abb. 5.1: Generation 1
Abb. 5.2: Generation 2
Abb. 5.3: Generation 3
Bei der nŠchsten Generation fangen die †berlappungen an.
Abb. 5.4: Generation 4
Abb. 5.5: Generation 5
Abb. 5.6: Generation 6
Abb. 5.7: Generation 7
Abb. 5.8: Generation 8
Abb. 5.9: Generation 9
Abb. 5.10: Generation 10
Abb. 5.11: Generation 11
Abb. 5.12: Generation 12
Durch Spiegeln erhalten wir wiederum ein Achteckfraktal (Abb. 6).
Abb. 6: Achteckfraktal
Das Fraktal ist vom fraktalen Standpunkt aus identisch mit dem Kathetenkontur-Fraktal der Abbildung 3.
FŸr die fraktale Dimension D gilt die Mandelbrot-Formel:
In unserem Beispiel ist und . Daraus ergibt sich .