Hans Walser, [20121126]
Achteck
Wir bauen ein nostalgisches Fraktal nach folgender Idee.
1 Dreiecke halbieren
Wir beginnen mit einem rechtwinklig gleichschenkligen Dreieck und halbieren dieses. Dann klappen wir die beiden Teildreiecke nach au§en und wiederholen den Prozess. Die Abbildung 1 zeigt die ersten Schritte. Im Folgenden zeichnen wir nur noch das Kathetenprofil, in der Abbildung 1 die Spalte ganz rechts.
Abb. 1: Die ersten Schritte
Die Abbildung 2 zeigt die Folge der Kathetenprofile.
Abb. 2.0: Start
Abb. 2.1: Generation 1
Abb. 2.2: Generation 2
Abb. 2.3: Generation 3
Bei der nŠchsten Generation beginnen die †berlappungen.
Abb. 2.4: Generation 4
Abb. 2.5: Generation 5
Abb. 2.6: Generation 6
Abb. 2.7: Generation 7
Abb. 2.8: Generation 8
Abb. 2.9: Generation 9
Abb. 2.10: Generation 10
Abb. 2.11: Generation 11
Abb. 2.12: Generation 12
Abb. 2.13: Generation 13
2 Das Achteckfraktal
Noch aber haben wir kein Achteck. Dieses erhalten wir durch Spiegeln nach unten (Abb. 3). Das Achteck ist nicht regelmŠ§ig. Es hat die Symmetriegruppe des Quadrates.
Abb. 3: Achteckfraktal
3 Der Baum
Die Abbildung 4 entspricht der Abbildung 1. Es sind nun aber die Wege eingezeichnet, welche die Ecken mit den rechten Winkeln beim Hinausklappen nehmen. So entsteht eine Baumfigur.
Abb. 4: Baumfigur
Die Abbildung 5 zeigt die Folge der Baumfiguren.
Abb. 5.1: Generation 1
Abb. 5.2: Generation 2
Abb. 5.3: Generation 3
Bei der nŠchsten Generation fangen die †berlappungen an.
Abb. 5.4: Generation 4
Abb. 5.5: Generation 5
Abb. 5.6: Generation 6
Abb. 5.7: Generation 7
Abb. 5.8: Generation 8
Abb. 5.9: Generation 9
Abb. 5.10: Generation 10
Abb. 5.11: Generation 11
Abb. 5.12: Generation 12
4 Achteckfraktal zum zweiten
Durch Spiegeln erhalten wir wiederum ein Achteckfraktal (Abb. 6).
Abb. 6: Achteckfraktal
Das Fraktal ist vom fraktalen Standpunkt aus identisch mit dem Kathetenkontur-Fraktal der Abbildung 3.
5 Fraktale Dimension
FŸr die fraktale Dimension D gilt die Mandelbrot-Formel:
In unserem Beispiel ist
und 
. Daraus ergibt sich 
.