Hans Walser, [20180919]

Achteck

Anregung: Heinz Schumann, Weingarten

1     Worum geht es?

Deckoperationen eines rŠumlichen Achtecks.

2     Das Achteck

Das Achteck lŠuft den Kanten eines Wźrfels entlang (Abb. 1).

Abb. 1: Das Achteck und der Wźrfel

Die Abbildung 2 zeigt das Achteck ohne den Wźrfel.

Abb. 2: Achteck, Position 0

Das Achteck hat acht gleich lange Kanten und acht rechte Winkel. Die Kanten rot, blau, magenta und golden haben keine Torsion. Die Kanten zyan und violett haben eine Torsion von +90ˇ, die Kanten grźn und gelb eine Torsion von –90ˇ. Wegen dieser unterschiedlichen Torsionen kann ich das Achteck nicht als regulŠr bezeichnen.

3     Deckoperationen

Wir wollen nun zeigen, dass es mšglich ist, das Achteck mit sich selber zur Deckung  zu bringen, so dass die schwarz markierte Ecke der Reihe nach auf die anderen Ecken zu liegen kommt.

Abb. 3: Position 1

Die Abbildung von der Position 0 zur Position 1 geschieht durch eine Ebenenspiegelung (Mittelnormalebene des markierten Ausgangspunktes und des Bildpunktes). Die Abbildung ist orientierungsumkehrend. Es ist daher nicht mšglich, ein materielles Modell in diese Position zu bringen.

Position 1 und Position 0 sind ungleich orientiert.

Abb. 4: Position 2

Die Abbildung von der Position 0 zur Position 2 geschieht durch eine Drehung und eine Ebenenspiegelung. Die Abbildung ist orientierungsumkehrend. Es ist daher nicht mšglich, ein materielles Modell in diese Position zu bringen.

Position 2 und Position 0 sind ungleich orientiert.

Abb. 5: Position 3

Die Abbildung von der Position 0 zur Position 3 geschieht durch Drehungen.

Position 3 und Position 0 sind gleich orientiert.

Abb. 6: Position 4

Die Abbildung von der Position 0 zur Position 4 geschieht durch eine Drehung.

Position 4 und Position 0 sind gleich orientiert.

Abb. 7: Position 5

Die Abbildung von der Position 0 zur Position 5 geschieht durch eine Ebenenspiegelung. Die Abbildung ist orientierungsumkehrend. Es ist daher nicht mšglich, ein materielles Modell in diese Position zu bringen.

Position 5 und Position 0 sind ungleich orientiert.

Abb. 8: Position 6

Die Abbildung von der Position 0 zur Position 6 geschieht durch eine Drehung und eine Ebenenspiegelung. Die Abbildung ist orientierungsumkehrend. Es ist daher nicht mšglich, ein materielles Modell in diese Position zu bringen.

Position 6 und Position 0 sind ungleich orientiert.

Abb. 9: Position 7

Die Abbildung von der Position 0 zur Position 7 geschieht durch Drehungen.

Position 7 und Position 0 sind gleich orientiert.


 

Die Tabelle 1 gibt eine †bersicht źber die relative Orientierung:

+ hei§t gleich orientiert

– hei§t ungleich orientiert

 

Pos

0

1

2

3

4

5

6

7

0

+

+

+

+

1

+

+

+

+

2

+

+

+

+

3

+

+

+

+

4

+

+

+

+

5

+

+

+

+

6

+

+

+

+

7

+

+

+

+

Tab. 1: Relative Orientierung