Hans Walser, [20180919]
Achteck
Anregung: Heinz Schumann, Weingarten
Deckoperationen eines rŠumlichen Achtecks.
Das Achteck lŠuft den Kanten eines Wźrfels entlang (Abb. 1).
Abb. 1: Das Achteck und der Wźrfel
Die Abbildung 2 zeigt das Achteck ohne den Wźrfel.
Abb. 2: Achteck, Position 0
Das Achteck hat acht gleich lange Kanten und acht rechte Winkel. Die Kanten rot, blau, magenta und golden haben keine Torsion. Die Kanten zyan und violett haben eine Torsion von +90ˇ, die Kanten grźn und gelb eine Torsion von –90ˇ. Wegen dieser unterschiedlichen Torsionen kann ich das Achteck nicht als regulŠr bezeichnen.
Wir wollen nun zeigen, dass es mšglich ist, das Achteck mit sich selber zur Deckung zu bringen, so dass die schwarz markierte Ecke der Reihe nach auf die anderen Ecken zu liegen kommt.
Abb. 3: Position 1
Die Abbildung von der Position 0 zur Position 1 geschieht durch eine Ebenenspiegelung (Mittelnormalebene des markierten Ausgangspunktes und des Bildpunktes). Die Abbildung ist orientierungsumkehrend. Es ist daher nicht mšglich, ein materielles Modell in diese Position zu bringen.
Position 1 und Position 0 sind ungleich orientiert.
Abb. 4: Position 2
Die Abbildung von der Position 0 zur Position 2 geschieht durch eine Drehung und eine Ebenenspiegelung. Die Abbildung ist orientierungsumkehrend. Es ist daher nicht mšglich, ein materielles Modell in diese Position zu bringen.
Position 2 und Position 0 sind ungleich orientiert.
Abb. 5: Position 3
Die Abbildung von der Position 0 zur Position 3 geschieht durch Drehungen.
Position 3 und Position 0 sind gleich orientiert.
Abb. 6: Position 4
Die Abbildung von der Position 0 zur Position 4 geschieht durch eine Drehung.
Position 4 und Position 0 sind gleich orientiert.
Abb. 7: Position 5
Die Abbildung von der Position 0 zur Position 5 geschieht durch eine Ebenenspiegelung. Die Abbildung ist orientierungsumkehrend. Es ist daher nicht mšglich, ein materielles Modell in diese Position zu bringen.
Position 5 und Position 0 sind ungleich orientiert.
Abb. 8: Position 6
Die Abbildung von der Position 0 zur Position 6 geschieht durch eine Drehung und eine Ebenenspiegelung. Die Abbildung ist orientierungsumkehrend. Es ist daher nicht mšglich, ein materielles Modell in diese Position zu bringen.
Position 6 und Position 0 sind ungleich orientiert.
Abb. 9: Position 7
Die Abbildung von der Position 0 zur Position 7 geschieht durch Drehungen.
Position 7 und Position 0 sind gleich orientiert.
Die Tabelle 1 gibt eine †bersicht źber die relative Orientierung:
+ hei§t gleich orientiert
– hei§t ungleich orientiert
Pos |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
0 |
+ |
– |
– |
+ |
+ |
– |
– |
+ |
1 |
– |
+ |
+ |
– |
– |
+ |
+ |
– |
2 |
– |
+ |
+ |
– |
– |
+ |
+ |
– |
3 |
+ |
– |
– |
+ |
+ |
– |
– |
+ |
4 |
+ |
– |
– |
+ |
+ |
– |
– |
+ |
5 |
– |
+ |
+ |
– |
– |
+ |
+ |
– |
6 |
– |
+ |
+ |
– |
– |
+ |
+ |
– |
7 |
+ |
– |
– |
+ |
+ |
– |
– |
+ |
Tab. 1: Relative Orientierung