Hans Walser, [20140817]

Additionstheorem fźr VerhŠltnisse im Dreieck

Herkunft: R., B.

1     Das Theorem

Die Abbildung 1 zeigt die geometrische Situation:

 

Abb. 1: Situation

 

Mit den Bezeichnungen der Abbildung 1 gilt:

 

 

2     Beweisskizze

Die Aussage des Theorems ist affin invariant. Wir kšnnen daher mit dem Dreieck der Abbildung 2 arbeiten.

 

Abb. 2: Beweisfigur

 

Fźr den Schnittpunkt S erhalten wir mit einiger Rechnung die Koordinaten:

 

 

vom Punkt R benštigen wir nur die x-Koordinate:

 

 

Es ist dann:

 

 

 

Somit ist:

 

 

 

3     Eine Ungleichung

Wir verwenden die Bezeichnungen der Abbildung 3.

 

Abb. 3: Bezeichnungen

 

Dreimalige Anwendung des Additionstheorems liefert:

 

 

 

 

Gleichheit gilt genau dann, wenn S der Schwerpunkt ist.

4     Bemerkung

Das Theorem erinnert von ferne an den Satz von Ceva. Allerdings sind im Satz von Ceva die relevanten VerhŠltnisse multiplikativ verbunden.