1 Worum es geht

Schraubenfigur mit Quadern, deren Kanten eine geometrische Folge bilden (Abb. 0).

Abb. 0: Quader als Spielmaterial

2 Der Quader

Ein Quader mit den Kantenlängen 1, a, a² (Abb. 1 und Abb. 2 für a = ½) hat Seitenrechtecke mit den Ausmaßen 1×a, a×a² und 1×a². Die ersten beiden Seitenrechtecke sind ähnlich, das dritte ist zu lang.

Abb. 1: Quader

Abb. 2: Abwicklung des Quaders

3 Skalieren und Ansetzen

Wir skalieren eine Kopie des Quaders mit dem Faktor a und setzen die skalierte Kopie an einem übereinstimmenden Seitenrechteck an (orange in Abb. 3).

Abb. 3: Skalieren und Ansetzen

4 Iteration

Wir können den Prozess iterieren (dunkelgelb in Abb. 4).

Abb. 4: Iteration

Beim nächsten Schritt (hellgelb in Abb. 5) ergibt sich ein Quader, der gleich orientiert ist wie der Startquader, aber gegenüber dem Startquader mit dem Faktor a³ skaliert.

Abb. 5: Nächster Schritt

Die Abbildung 6 zeigt weitere Schritte.

Abb. 6: Weitere Schritte

Da a = ½ im Vergleich zu 1 klein ist, konvergiert die Folge aⁿ rasch gegen 0 und wir sehen von Auge keine weiteren Schritte mehr.

5 Andere Skalierungsfaktoren

Im trivialen Fall a = 1 erhalten wir Würfel (Abb. 7). Die Figur ist eine Schraubenlinie mit Linksgewinde.

Abb. 7: Würfel

Die Abbildung 8 zeigt die Situation für a = ⅘.

Abb. 8: a = ⅘

Literatur

Walser, Hans (2022): Spiralen, Schraubenlinien und spiralartige Figuren. Mathematische Spielereien in zwei und drei Dimensionen. Springer Spektrum. ISBN 978-3-662-65131-5 und ISBN 978-3-662-65132-2 (eBook).

Walser, Hans (2024): Spirals, Helical Lines, and Spiral-Like Figures. Mathematical Playfulness in Two and Three Dimensions. Springer.
ISBN 978-3-662-68930-1, ISBN 978-3-662-68931-8 (eBook)
https://doi.org/10.1007/978-3-662-68931-8