Hans Walser, [20210104]

Al-Sijzi

Anregung: Johanna Heitzer, Aachen

 

Mathematik ist das Finden von Invarianten.

Heinz Hopf

1   Worum geht es?

Verallgemeinerung der SŠtze von Pythagoras und al-Sijzi sowie des Begriffs des Thaleskreises. Invarianten.

2   Problemstellung

Gegeben seien m Punkte Ai im Rn.

Zu einer gegebenen Konstanten k suchen wir die Punktmenge H:

 

                                                                                   (1)

 

 

 

 

Die Summe der Quadrate der AbstŠnde von P zu Ai soll konstant k2 sein.

Das hei§t umgekehrt, dass fŸr alle Punkte  die Summe der Quadrate der AbstŠnde invariant bleibt.

3   Behauptung

Die gesuchte Punktmenge H ist eine n–1-HypersphŠre um den Schwerpunkt S der m Punkte Ai. Der Beweis folgt sogleich. Beispiele anschlie§end.

4   Beweis

Wir wŠhlen ein kartesisches Koordinatensystem so, dass der Schwerpunkt S der m Punkte Ai in den Nullpunkt zu liegen kommt.

Mit  gilt dann die Schwerpunktbedingung:

 

                                                                                                 (2)

 

 

 

 

 

Mit , erhalten wir fŸr das Quadrat eines einzelnen Abstands:

 

                     (3)

 

 

 

 

 

 

 

FŸr die Summe der Quadrate der AbstŠnde folgt daraus:

 

                               (4)

 

 

 

 

 

 

Durch Vertauschung der Summationsreihenfolge in der Doppelsumme ergibt sich wegen 2:

 

           (5)

 

 

 

 

 

 

Wenn dieser Ausdruck (5) konstant sein soll, muss  konstant sein. Das hei§t, der Punkt P liegt auf einer n–1-HypersphŠre mit dem Mittelpunkt S. Dies war zu beweisen.

Ein vorgegebener Wert k2 fŸr die Konstante (5) fŸhrt auf:

 

                                                                         (6)

 

 

 

 

 

Die gesuchte Punktmenge H ist also eine n–1-HypersphŠre um den Schwerpunkt S mit dem durch (6) gegebenen Radius.

FŸr einen reellen Radius muss die Bedingung

 

                                                                                                     (7)

 

 

 

 

erfŸllt sein.

5   Beispiele

5.1  Vorbemerkung zur Visualisierung

Das algebraisch gemeinte Quadrat einer Strecke kann durch ein geometrisches Quadrat mit der Strecke als SeitenlŠnge visualisiert werden. Dem algebraischen Quadrat entspricht der FlŠcheninhalt des geometrischen Quadrates.

Diese Visualisierung kennen wir von der Pythagoras-Ikone (Abb. 1a) her.

Wenn wir es allerdings wie in (1) mit m Quadraten zu tun haben und m recht gro§ ist, fŸhrt dies in der geometrischen Visualisierung bald einmal zu †berlappungen der Quadrate.

Im 3- oder hšherdimensionalen Raum wirken die (zweidimensionalen) Quadrate wie quadratische Flatterfahnen an der Fahnenstange.

5.2  Pythagoras

Wir arbeiten mit einem rechtwinkligen Dreieck A1A2P mit dem rechten Winkel bei P. Nach dem Satz des Thales liegt P auf dem Kreis mit Durchmesser A1A2.

Wir setzen . Weiter ist m = 2. Der Schwerpunkt S der beiden Punkte A1 und A2 ist der Mittelpunkt der Strecke A1A2.  Daher ist . Weiter ist .

FŸr die Summe (5) der Quadrate der AbstŠnde von P zu A1 und A2 erhalten wir:

 

                        (8)

 

 

 

 

 

 

Das c2 setzt sich aus vier Teilquadraten der SeitenlŠnge  zusammen. Die Abbildung 1 gibt zwei Visulisierungen des Satzes von Pythagoras. Die Abbildung 1a kennen wir von der Schule her. Die Abbildung 1b ist symmetrisch im Sinne ãzwei rote Quadrate = zwei blaue QuadrateÒ.

Abb.1: Pythagoras: Rot = blau

Die Abbildung 2 gibt den Link zwischen den beiden Darstellungsarten. Wegen der Invarianz der Quadratsumme kšnnen wir die beiden roten Quadrate durch zwei gleich gro§e, symmetrisch liegende dunkelblaue Quadrate ersetzen (Abb. 1b). Diese wiederum kšnnen wir durch je zwei hellblaue Quadrate ersetzen, welche zusammen das klassische c2 ergeben.

Abb. 2: Link zwischen hellblau und dunkelblau

5.3  Al-Sijzi

Wir arbeiten mit einem beliebigen Dreieck A1A2P. Wir setzen wiederum . Weiter ist m = 2 und der Schwerpunkt S der beiden Punkte A1 und A2 der Mittelpunkt der Strecke A1A2.  Daher ist . Wir zeichnen einen Kreis um S und bewegen den Punkt P darauf. Es ist also  konstant (die von P ausgehende Schwerlinie). Aus (5) erhalten wir:

 

                        (9)

 

 

 

 

 

 

Die Abbildungen 3 und 4 illustrieren den Sachverhalt.

 

 

Abb. 3: Al-Sijzi: Rot = blau

Die FlŠchensumme der roten Quadrate ist invariant bei einer Bewegung von P auf dem Kreis um S. Diese FlŠchensumme ist wegen (9) gleich der FlŠchensumme von zwei Quadraten der SeitenlŠnge  plus der FlŠchensumme von zwei Quadraten mit dem Kreisradius als SeitenlŠnge (Abb. 3a). Wegen der Invarianz der Quadratsumme kšnnen wir die beiden roten Quadrate durch zwei gleich gro§e, symmetrisch liegende dunkelblaue Quadrate ersetzen (Abb. 3b). Die Abbildung 4 gibt den Link zwischen den hellblauen und den dunkelblauen Quadraten.

Abb. 4: Link zwischen hellblau und dunkelblau

5.4  Drei Punkte

Das einfachste ebene Beispiel, das Ÿber die SŠtze des Pythagoras und des Sijzi hinausgeht, besteht aus drei Punkten A1, A2, A3 (Abb. 5). Die drei Quadrate, die der Visualisierung der drei Abstandsquadrate dienen, Ÿberlappen sich teilweise. Der Punkt P kurvt auf einem Kreis um den Schwerpunkt S. Die Summe der Quadrate der AbstŠnde bleibt invariant.

 

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Abb. 5: Drei Punkte

6   Die kopernikanische Wende

In der Abbildung 5 kreist der Punkt P um die Figur mit den drei Punkten A1, A2, A3 wie die Sonne um die Erde.

Wir kšnnen die Sichtweise umkehren. Wir halten den Punkt P fest und drehen die Figur mit den drei Punkten A1, A2, A3 um ihren Schwerpunkt (Abb. 6). Die Summe der Abstandsquadrate bleibt invariant.

 

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Abb. 6: Umkehrung der Sichtweise

Die Abbildung 7 zeigt ein Beispiel mit hoher Symmetrie. Der Radius des 5-Sternes ist 1, der Abstand des Punktes P von S ist 3. Aus (5) erhalten wir:

 

                               (10)

 

 

 

 

 

 

 

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Abb. 7: Kinematik

Man beachte, dass die fŸnf Quadratecken rechts oben in jeder Position ein regelmŠ§iges FŸnfeck bilden. Ebenso die Ecken links oben.

7   Rechenbeispiele

7.1  RegelmŠ§iges Vieleck

Dem Einheitskreis wird ein regelmŠ§iges m-Eck einbeschrieben. Weiter wŠhlen wir einen beliebigen Punkt P auf dem Einheitskreis. Wie gro§ ist die Summe der Quadrate der AbstŠnde von P zu den Ecken des m-Ecks?

Man kann die Aufgabe zunŠchst exemplarisch und dann allgemein mit Trigonometrie durchexerzieren (der Autor hat beides gemacht). Man lernt dabei einiges.

Das Ergebnis ist 2m. Dies folgt unmittelbar aus (5).

7.2  RegelmŠ§iges Polyeder

Der Einheitskugel wird ein regelmŠ§iges Polyeder (platonischer Kšrper) einbeschrieben. Weiter wŠhlen wir einen beliebigen Punkt P auf der Einheitskugel. Wie gro§ ist die Summe der Quadrate der AbstŠnde von P zu den Ecken des Polyeders?

Das Ergebnis ist zweimal die Eckenzahl. Beim WŸrfel also 8.

8   Gewichtung

Wir kšnnen die einzelnen Abstandsquadrate unterschiedlich gewichten. Damit die Summe invariant bleibt, mŸssen die Punkte A1, ... , Am bei der Schwerpunktbestimmung entsprechend gewichtet werden. Die Punktmenge H ist dann wieder eine n–1-HypersphŠre um S.

In der Abbildung 8 ist der Punkt A2 gegenŸber dem Punkt A1 doppelt gewichtet.

 

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Abb. 8: Ungleiche Gewichtung

9   Link mit Statistik

Den Begriffen Schwerpunkt und Summe der Abstandsquadrate vom Schwerpunkt entsprechen in der Statistik die Begriffe Mittelwert und Streuung.

10 Verallgemeinerung oder Sonderfall?       

Der Satz des Pythagoras ist im Satz des al-Sijzi und in der Formel (5) als Sonderfall enthalten. Ebenso ist der Satz des al-Sijzi in der Formel (5) als Sonderfall enthalten.

Es wŠre nun aber falsch, aus der Formel (5) einen Beweis fŸr den Satz des Pythagoras oder den Satz des al-Sijzi abzuleiten. Wir haben nŠmlich bei der Herleitung von (5) den Satz des Pythagoras in (3) eingesetzt.

Die korrekte Formulierung ist wohl, dass man den Satz des Pythagoras, den Satz des al-Sijzi und die Formel (5) als Šquivalent bezeichnet.

 

Websites

Hans Walser: Al-Sijzi
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/A/Al-Sijzi/index.html

Hans Walser: Al-Sijizi
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/A/Al-Sijzi2/Al-Sijzi2.htm

Hans Walser: Al-Sijzi
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/A/Al-Sijzi3/Al-Sijzi3.htm

Hans Walser: Al-Sijzi
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/A/Al-Sijzi4/Al-Sijzi4.htm