Hans Walser, [20150723]

Verallgemeinerung der Kegelschnitte

1     Worum es geht

Die Kegelschnitte werden in zweierlei Hinsicht verallgemeinert:

á            Verwendung einer allgemeinen p-Norm

á            Mehrere Brennpunkte

2     Norm

Die Ÿbliche Abstandsnorm (Pythagoras-Norm)

 

 

verallgemeinern wir zu:

 

 

FŸr p = 2 ergibt  sich die Ÿbliche Pythagoras-Norm.

Die Abbildung 1 zeigt die Einheitskreise fŸr .

 

Abb. 1: Einheitskreise

 

Wir erkennen zuinnerst die Astroide (dass die Spitzen nicht ganz ausgefahren werden, hat mit Auflšsungsproblemen zu tun),  dann als ŸbernŠchstes ein spitzstŠndiges Quadrat und als ŸbernŠchstes den gewšhnlichen Kreis. Die Figuren streben fŸr wachsende n gegen ein bodenstŠndiges Quadrat.

Die Abbildung 2 zeigt das Entsprechende fŸr Ellipsen mit den Brennpunkten  und  sowie der Abstandssumme (SchnurlŠnge bei der GŠrtnerkonstruktion) 4.

 

Abb. 2: Ellipsen

 

Zuinnerst sehen wie die Astrollipse, dann als ŸbernŠchstes einen Diamanten und wieder als ŸbernŠchstes die gewšhnlichen Ellipse. FŸr wachsendes n streben die Figuren gegen ein gleichwinkliges aber nicht gleichseitiges Achteck.

Jetzt ist es spannend, wie es bei Hyperbeln (Abb. 3) und Parabeln (Abb. 4) lŠuft.

 

Abb. 3: Hyperbeln

 

Abb. 4: Parabeln

 

3     Konfokale Scharen

Bis jetzt haben wir die Metrik variiert. Wir kšnnen auch konfokale Kurvenscharen bei konstanter Metrik ansehen.

Die Abbildung 5 zeigt konfokale Ellipsen im Ÿblichen Sinn.

 

Abb. 5: Konfokale Ellipsen

 

Die Abbildung 6 zeigt dieselben Ellipsen in den Metriken .

 

Abb. 6: Verschiedene Metriken

 

FŸr die Metrik mit p = 1 ergeben sich immer geradlinige PolygonzŸge als Kurven.

4     Mehrere Brennpunkte

Die Abbildung 7 zeigt eine konfokale Ellipsenschar mit drei Brennpunkten. Wir arbeiten mit der Metrik p = 2.

 

Abb. 7: Drei Brennpunkte

 

Die Idee dahinter ist einfach: Wir halten die Abstandssumme zu den drei Brennpunkten konstant.

Wenn wir nun mit anderen Metriken arbeiten, zum Beispiel wieder mit , erleben wir eine †berraschung (Abb. 8).

 

Abb. 8: Andere Metriken

 

Die dreiteilige Symmetrie ist weg. Die Scharkurven der Abbildung 7 haben dieselben Symmetrien wie das gleichseitige Dreieck mit den Brennpunkten in den Ecken. In der Abbildung 8 haben wir nur noch eine senkrechte Achsialsymmetrie. Der Grund liegt darin, dass die Metriken mt  am Koordinatensystem orientiert sind. Nur die Ausnahmemetrik mit p = 2 ist vom Koordinatensystem unabhŠngig und damit eine rein geometrisch brauchbare Metrik. Das illustriert die Bedeutung des Satzes von Pythagoras.

Die Abbildungen 8 und 9 zeigt ein Beispiel mit vier Brennpunkten, die aber bezŸglich des Koordinatensystems schief liegen. FŸr p = 2 liegt nichts Besonderes vor (Abb. 8). Die Scharkurven haben dieselben Symmetrien wie das Brennpunktequadrat.

 

Abb. 9: Vier Brennpunkte

 

FŸr  sieht es anders aus (Abb. 10).

 

Abb. 10: Andere Metriken

 

Die Scharkurven haben zwar noch eine vierteilige Drehsymmetrie, aber keine Symmetrieachsen wie das Brennpunktequadrat.

5     Anziehende und absto§ende Brennpunkte

Bis jetzt haben wir alle BrennpunktabstŠnde additiv berechnet. Wir kšnnen aber auch einzelne BrennpunktabstŠnde subtraktiv aufnehmen. Die zugehšrigen Brennpunkte werden als absto§ende Brennpunkte bezeichnet und mit einem spitzstŠndigen Quadrat dargestellt. Die Abbildung 11 zeigt ein Beispiel mit zwei anziehenden und einem absto§enden Brennpunkt fŸr p = 2.

 

Abb. 11: Unterschiedliche Brennpunkte

 

Die Abbildung 12 zeigt dieselben Kurvenscharen fŸr .

 

Abb. 12: Verschiedene Metriken

 

Die Abbildung 13 zeigt drehsymmetrisch verteilte Brennpunkte mit p = 2.

 

Abb. 13: Drehsymmetrisch verteilte Brennpunkte

 

Bei anderen Metriken () gibt es wiederum Probleme mit der Symmetrie (Abb. 14).

 

Abb. 14: Keine Drehsymmetrie

 

In der Abbildung 15 (mit p = 2) sind die Brennpunkte kompatibel zum Koordinatensystem gewŠhlt.

 

Abb. 15: Symmetrie zum Koordinatensystem

 

Die Abbildung 16 zeigt das entsprechende fŸr andere Metriken.

 

Abb. 16: Andere Metriken