Hans Walser, [20150723]

Verallgemeinerung der Kegelschnitte

1 Worum es geht

Die Kegelschnitte werden in zweierlei Hinsicht verallgemeinert:

· Verwendung einer allgemeinen p-Norm

· Mehrere Brennpunkte

2 Norm

Die übliche Abstandsnorm (Pythagoras-Norm)

verallgemeinern wir zu:

Für p = 2 ergibt sich die übliche Pythagoras-Norm.

Die Abbildung 1 zeigt die Einheitskreise für .

Abb. 1: Einheitskreise

Wir erkennen zuinnerst die Astroide (dass die Spitzen nicht ganz ausgefahren werden, hat mit Auflösungsproblemen zu tun), dann als übernächstes ein spitzständiges Quadrat und als übernächstes den gewöhnlichen Kreis. Die Figuren streben für wachsende n gegen ein bodenständiges Quadrat.

Die Abbildung 2 zeigt das Entsprechende für Ellipsen mit den Brennpunkten und sowie der Abstandssumme (Schnurlänge bei der Gärtnerkonstruktion) 4.

Abb. 2: Ellipsen

Zuinnerst sehen wie die Astrollipse, dann als übernächstes einen Diamanten und wieder als übernächstes die gewöhnlichen Ellipse. Für wachsendes n streben die Figuren gegen ein gleichwinkliges aber nicht gleichseitiges Achteck.

Jetzt ist es spannend, wie es bei Hyperbeln (Abb. 3) und Parabeln (Abb. 4) läuft.

Abb. 3: Hyperbeln

Abb. 4: Parabeln

3 Konfokale Scharen

Bis jetzt haben wir die Metrik variiert. Wir können auch konfokale Kurvenscharen bei konstanter Metrik ansehen.

Die Abbildung 5 zeigt konfokale Ellipsen im üblichen Sinn.

Abb. 5: Konfokale Ellipsen

Die Abbildung 6 zeigt dieselben Ellipsen in den Metriken .

Abb. 6: Verschiedene Metriken

Für die Metrik mit p = 1 ergeben sich immer geradlinige Polygonzüge als Kurven.

4 Mehrere Brennpunkte

Die Abbildung 7 zeigt eine konfokale Ellipsenschar mit drei Brennpunkten. Wir arbeiten mit der Metrik p = 2.

Abb. 7: Drei Brennpunkte

Die Idee dahinter ist einfach: Wir halten die Abstandssumme zu den drei Brennpunkten konstant.

Wenn wir nun mit anderen Metriken arbeiten, zum Beispiel wieder mit , erleben wir eine Überraschung (Abb. 8).

Abb. 8: Andere Metriken

Die dreiteilige Symmetrie ist weg. Die Scharkurven der Abbildung 7 haben dieselben Symmetrien wie das gleichseitige Dreieck mit den Brennpunkten in den Ecken. In der Abbildung 8 haben wir nur noch eine senkrechte Achsialsymmetrie. Der Grund liegt darin, dass die Metriken mt am Koordinatensystem orientiert sind. Nur die Ausnahmemetrik mit p = 2 ist vom Koordinatensystem unabhängig und damit eine rein geometrisch brauchbare Metrik. Das illustriert die Bedeutung des Satzes von Pythagoras.

Die Abbildungen 8 und 9 zeigt ein Beispiel mit vier Brennpunkten, die aber bezüglich des Koordinatensystems schief liegen. Für p = 2 liegt nichts Besonderes vor (Abb. 8). Die Scharkurven haben dieselben Symmetrien wie das Brennpunktequadrat.

Abb. 9: Vier Brennpunkte

Für sieht es anders aus (Abb. 10).

Abb. 10: Andere Metriken

Die Scharkurven haben zwar noch eine vierteilige Drehsymmetrie, aber keine Symmetrieachsen wie das Brennpunktequadrat.

5 Anziehende und abstoßende Brennpunkte

Bis jetzt haben wir alle Brennpunktabstände additiv berechnet. Wir können aber auch einzelne Brennpunktabstände subtraktiv aufnehmen. Die zugehörigen Brennpunkte werden als abstoßende Brennpunkte bezeichnet und mit einem spitzständigen Quadrat dargestellt. Die Abbildung 11 zeigt ein Beispiel mit zwei anziehenden und einem abstoßenden Brennpunkt für p = 2.