Hans Walser, [20090117a], [20151203]
Alternierende Quadratsummen
Es werden Quadratketten konstruiert, deren alternierende FlŠchensumme null ist.
In einem
Vieleck mit Eckenzahl n wŠhlen wir
einen Punkt P und fŠllen die Lote auf
die Seiten. Dann setzen wir Quadrate auf gemŠ§ Abbildung 1 (Figur fŸr ). Die alternierende QuadratflŠchensumme ist null.
Abb. 1: rot = blau
Abb. 2: Beweisfigur
Wir ergŠnzen gemŠ§ Figur und beschriften und nummerieren zyklisch. Damit gilt:
(1)
Wegen der
zyklischen Nummerierung modulo n ist . Daraus folgt:
Das ist die Behauptung.
Im Dreieck gilt allgemein die Figur der Abbildung 3.
Abb. 3: rot = blau
Wir schieben nun den Punkt P in eine Dreiecksecke (Abb. 4). Dann entsteht eine Figur mit einer Dreieckshšhe und nur vier Quadraten.
Abb. 4: rot = blau
Im Dreieck gilt auch die Umkehrung. Wenn die alternierende Quadratsumme verschwindet, schneiden sich die Orthogonaltrajektorien in einem Punkt.
Wir arbeiten mit den Bezeichnungen der Abbildung 5.
Abb. 5: Bezeichnungen
ZunŠchst gelten folgende vier Bedingungen:
(3)
Wenn wir nun
zusŠtzlich und
wŠhlen, werden
zum Beispiel
und
festgelegt. Zusammen
mit (3) haben wir nun ein Gleichungssystem fŸr
und
,
. Dieses gibt uns
und damit rein
rechnerisch die Position von
.
Andererseits
legen und
den Punkt P fest und vermšge Abschnitt 2.1 denselben
Punkt
. Das hei§t, dass die Orthogonaltrajektorien durch
,
, kopunktal sind.
Im Viereck gilt die Umkehrung nicht. Die Abbildung 6 zeigt ein Gegenbeispiel.
Abb. 6: Gegenbeispiel
Analoge Gegenbeispiele kšnnen fŸr Eckenzahlen > 4 konstruiert werden.
Wir gehen zurŸck zum Fall des Vieleckes mit n Ecken und wŠhlen auf jeder Lotgeraden durch P einen beliebigen Punkt. Dann ergŠnzen wir gemŠ§ Abbildung 7. Wiederum verschwindet die alternierende Quadratsumme.
Abb. 7: rot = blau
Wir beschriften und nummerieren zyklisch gemŠ§ Abbildung 8.
Abb. 8: Beweisfigur
Damit gilt:
(4)
Wegen ist auch
. Das ist die Behauptung.
In einem (ersten) Dreieck (grŸn in Abb. 9) wŠhlen wir einen Punkt P und fŠllen die Lote auf die Dreiecksseiten. Auf jedem Lot wŠhlen wir einen beliebigen Punkt und verbinden diese drei Punkte zu einem (zweiten) Dreieck (orange in Abb. 9). Nun fŠllen wir von den Ecken des ersten (grŸnen) Dreiecks aus je das Lot auf eine Seite des zweiten (orangen) Dreiecks gemŠ§ Abbildung 9. Diese drei Lote schneiden sich in einem gemeinsamen Punkt Q.
Abb. 9: Schnittpunkt Q
Die entstehende Figur ist begrifflich symmetrisch.
Zu den Ecken kšnnen wir Quadrate einzeichnen, deren alternierende Summe verschwindet (Abb. 10).
Abb. 10: Alternierende Quadrate
Wir wŠhlen den Punkt P als Hšhenschnittpunkt und schneiden die Lotgeraden mit dem Umkreis (Abb. 11).
Abb. 11: Sonderfall im Dreieck
Die Quadrate sind dann paarweise kongruent. Beweis?
Wir wŠhlen auf den Achsen eines orthogonalen Achsenkreuzes je zwei beliebige Punkte und ergŠnzen mit Quadraten gemŠ§ Abbildung 12. Wiederum verschwindet die alternierende Quadratsumme. Beweis?
Abb. 12: Achsenkreuz