Hans Walser, [20090117a], [20151203]

Alternierende Quadratsummen

1        Worum geht es?

Es werden Quadratketten konstruiert, deren alternierende FlŠchensumme null ist.

2        Vieleck mit aufgesetzten Quadraten

2.1      Die Quadratkette

In einem Vieleck mit Eckenzahl n wŠhlen wir einen Punkt P und fŠllen die Lote auf die Seiten. Dann setzen wir Quadrate auf gemŠ§ Abbildung 1 (Figur fŸr ). Die alternierende QuadratflŠchensumme ist null.

Abb. 1: rot = blau

2.2      Beweis

Abb. 2: Beweisfigur

Wir ergŠnzen gemŠ§ Figur und beschriften und nummerieren zyklisch. Damit gilt:

 

                                                                                                 (1)

 

 

 

Wegen der zyklischen Nummerierung modulo n ist . Daraus folgt:

 

                                                                                                                (2)

 

 

 Das ist die Behauptung.

2.3      Dreieck

Im Dreieck gilt allgemein die Figur der Abbildung 3.

Abb. 3: rot = blau

2.4      Sonderfall im Dreieck

Wir schieben nun den Punkt P in eine Dreiecksecke (Abb. 4). Dann entsteht eine Figur mit einer Dreieckshšhe und nur vier Quadraten.

Abb. 4: rot = blau

3        Frage der Umkehrung

3.1      Dreieck

Im Dreieck gilt auch die Umkehrung. Wenn die alternierende Quadratsumme verschwindet, schneiden sich die Orthogonaltrajektorien in einem Punkt.

Wir arbeiten mit den Bezeichnungen der Abbildung 5.

Abb. 5: Bezeichnungen

ZunŠchst gelten folgende vier Bedingungen:

 

                                                                                 (3)

 

 

 

Wenn wir nun zusŠtzlich  und  wŠhlen, werden zum Beispiel  und  festgelegt. Zusammen mit (3) haben wir nun ein Gleichungssystem fŸr  und , . Dieses gibt uns  und damit rein rechnerisch die Position von .

Andererseits legen  und  den Punkt P fest und vermšge Abschnitt 2.1 denselben Punkt . Das hei§t, dass die Orthogonaltrajektorien durch , , kopunktal sind.

3.2      Viereck

Im Viereck gilt die Umkehrung nicht. Die Abbildung 6 zeigt ein Gegenbeispiel.

Abb. 6: Gegenbeispiel

Analoge Gegenbeispiele kšnnen fŸr Eckenzahlen > 4 konstruiert werden.

4        Verallgemeinerung

4.1      Quadratkette

Wir gehen zurŸck zum Fall des Vieleckes mit n Ecken und wŠhlen auf jeder Lotgeraden durch P einen beliebigen Punkt. Dann ergŠnzen wir gemŠ§ Abbildung 7. Wiederum verschwindet die alternierende Quadratsumme.

Abb. 7: rot = blau

4.2      Beweis

Wir beschriften und nummerieren zyklisch gemŠ§ Abbildung 8.

Abb. 8: Beweisfigur

Damit gilt:

 

                                                                                                   (4)

 

 

 

Wegen  ist auch . Das ist die Behauptung.

4.3      Eine Schnittpunkteigenschaft im Dreieck

In einem (ersten) Dreieck (grŸn in Abb. 9) wŠhlen wir einen Punkt P und fŠllen die Lote auf die Dreiecksseiten. Auf jedem Lot wŠhlen wir einen beliebigen Punkt und verbinden diese drei Punkte zu einem (zweiten) Dreieck (orange in Abb. 9). Nun fŠllen wir von den Ecken des ersten (grŸnen) Dreiecks aus je das Lot auf eine Seite des zweiten (orangen) Dreiecks gemŠ§ Abbildung 9. Diese drei Lote schneiden sich in einem gemeinsamen Punkt Q.

Abb. 9: Schnittpunkt Q

Die entstehende Figur ist begrifflich symmetrisch.

Zu den Ecken kšnnen wir Quadrate einzeichnen, deren alternierende Summe verschwindet (Abb. 10).

Abb. 10: Alternierende Quadrate

4.4      Sonderfall im Dreieck

Wir wŠhlen den Punkt P als Hšhenschnittpunkt und schneiden die Lotgeraden mit dem Umkreis (Abb. 11).

Abb. 11: Sonderfall im Dreieck

Die Quadrate sind dann paarweise kongruent. Beweis?

5        Orthogonales Achsenkreuz

Wir wŠhlen auf den Achsen eines orthogonalen Achsenkreuzes je zwei beliebige Punkte und ergŠnzen mit Quadraten gemŠ§ Abbildung 12. Wiederum verschwindet die alternierende Quadratsumme. Beweis?

Abb. 12: Achsenkreuz