Hans Walser, [20140713]

Analogie zum Quadrat im Raum

1 Worum geht es?

Üblicherweise wird der Würfel als das Analogon des Quadrates im Raum angesehen. Es gibt allerdings auch andere Möglichkeiten, das Quadrat in den Raum zu analogisieren.

2 Der Würfel

Es gibt gute Gründe, den Würfel als ein Analogon des Quadrates im Raum anzusehen.

Beispiel:

Quadrat =

Würfel =

n-d-Hyperwürfel: =

3 Oktaeder

Wir sehen das Quadrat als die konvexe Hülle zweier kongruenter Strecken, die sich mittig orthogonal schneiden (Diagonalen). Das räumliche Analogon ist das Oktaeder.

Formeln:

Quadrat =

Oktaeder =

=

4 Vektorzug

4.1 Start in der Ebene

In einem kartesischen Koordinatensystem seien und die beiden Einheitsvektoren.

Wir definieren rekursiv eine Vektorfolge : . Weiter sei der um +90° gedrehte Vektor . Damit erhalten wir die Situation der Abbildung 1.

Abb. 1: Vektorzug

Der Vektorzug schließt sich zum Quadrat, die Summe der ersten vier Folgenvektoren ist der Nullvektor.

Weiter ist und allgemein . Wir haben ein periodisches Verhalten mit der Periodenlänge 4 und ein antiperiodisches Verhalten mit der Periodenlänge 2. Für die Summe gilt:

4.2 Analogon im Raum

In einem kartesischen räumlichen Koordinatensystem seien die drei Einheitsvektoren.

Wir definieren rekursiv eine Vektorfolge : und . Weiter sei:

Die Rekursion erinnert von ferne an die Fibonacci-Rekursion. Wir erhalten der Reihe nach:

und allgemein . Wir haben ein periodisches Verhalten mit der Periodenlänge 3. Der Vektorzug schließt sich nicht. Die Summe divergiert.

Die Abbildung 2 zeigt die Situation.

Abb. 2: Vektorzug im Raum

Es ergibt sich eine eckige Spirale, welche sich auf einem Dreikant emporwindet. Bei Sicht längs der blau eingezeichneten Würfeldiagonalen sehen wir den Querschnitt des Dreikants (Abb. 3).

Abb. 3: Dreikant

Die Vektoren schneiden die Mantelkanten des Dreikants unter einem Winkel von:

Daher können wir ein Modell des Dreikants mit eckiger Spirale aus einer Plastikfolie im DIN-A4-Format bauen. Wir legen die Folie im Querformat hin und zeichnen die Diagonale von links unten nach rechts oben. Anschließend erstellen wir vier oder acht Bergfalten gemäß Abbildung 4.

Abb. 4: Bauanleitung Dreikant

Nun können wir die Folie zum Dreikant falten und mit Büroklammern oder Klebeband fixieren (Abb. 5).

Abb. 5: Modell aus Plastikfolie

4.3 Diskussion

In der Ebene haben wir mit Drehen um 90° gearbeitet, im Raum mit dem Kreuzprodukt. Diese beiden Operationen lassen sich unter einen Hut bringen, so dass die Analogie offensichtlich wird. Das geht mit Hilfe von formalen Determinanten.

4.3.1 In der Ebene

Wir arbeiten mit einem Vektor

und bilden die formale Matrix A:

Die Einträge dieser Matrix sind also in der ersten Spalte die Komponenten des Vektors und in der zweiten Spalte die Einheitsvektoren. Nun berechnen wir formal die Determinante:

Wir erhalten einen Vektor, und zwar den um 90° gedrehten Vektor .

4.3.2 Im Raum

Wir arbeiten mit zwei Vektoren

und berechnen die analoge Determinante:

Wir erhalten das Kreuzprodukt.

4.3.3 Allgemein

Im n-dimensionalen Raum können wir nun analog die Determinante einer Matrix berechnen deren erste n – 1 Spalten die Komponenten von n – 1 Vektoren sind und deren letzte Spalte aus den n Einheitsvektoren besteht. Diese Determinante ist wieder ein Vektor im n-dimensionalen Raum.

Schreibweise:

4.4 Dimension vier

Wir starten mit den drei Vektoren

und verwenden die Rekursion:

Wir erhalten der Reihe nach:

Wir haben eine Periodenlänge 8 und eine Antiperiodenlänge 4. Der Vektorzug ist geschlossen.

Für die Summe gilt:

Wir haben also prinzipiell dasselbe Verhalten wie in der Dimension 2.

4.5 Dimension fünf

Mit den vier Startvektoren und der Rekursion

erhalten wir:

Wir haben im Prinzip dasselbe Verhalten wie in der Dimension 3. Der Vektorzug schließt sich nicht.

Die Summe divergiert.

4.6 Allgemein

Es ergibt sich eine Paritätsunterscheidung bezüglich der Dimension n. Der Grund für diese Paritätsunterscheidung ist das alternierende Vorzeichenverhalten bei der Entwicklung der Determinante nach Laplace.

4.6.1 Gerade Dimension

Antiperiodenlänge n, Periodenlänge 2n.

Die Summe ist ebenfalls periodisch mit der Periodenlänge 2n.

Der Vektorzug ist geschlossen.

4.6.2 Ungerade Dimension

Periodenlänge n.

Die Summe divergiert.

Der Vektorzug schließt sich nicht.