Hans Walser, [20221026]
Ankreis
Anregung: Peter Gallin, Zürich
Spielerei um den Ankreis. Kopunktale Geraden. Siebenpunktekreis. Sechspunktekegelschnitt.
In einem beliebigen nicht regelmäßigen Dreieck spiegeln wir den Mittelpunkt eines der drei Ankreise an jeder Dreiecksseite (Abb. 1).
Abb. 1: Ankreismittelpunkt spiegeln
Die Verbindungsgeraden der gespiegelten Punkte mit den den Spiegelachsen gegenüberliegenden Dreiecksecken schneiden sich in einem Punkt (Abb. 2).
Abb. 2: Schnittpunkt
Wir legen den Kegelschnitt durch diesen Schnittpunkt, den Ankreismittelpunkt und die drei Dreiecksecken (Abb. 3).
Abb. 3: Gleichseitige Hyperbel
Der Kegelschnitt ist eine gleichseitige Hyperbel, die Asymptoten sind orthogonal. Der Mittelpunkt der Hyperbel liegt auf dem Ankreis. Erhärtung mit DGS.
Der Höhenschnittpunkt des Dreieckes liegt ebenfalls auf der Hyperbel (Abb. 4). Die Hyperbel ist also ein Sechspunktekegelschnitt (DGS).
Abb. 4: Höhenschnittpunkt
Nun spiegeln wir den Höhenschnittpunkt an den Dreieckseiten (Abb. 5). Die Spiegelpunkte liegen auf dem Umkreis des Dreieckes. Dies kann mit Winkelüberlegungen gezeigt werden. Der Umkreis ist also (vorerst) ein Sechspunktekreis.
Abb. 5: Umkreis
Wir legen je eine Gerade durch die an der gleichen Dreiecksseite gespiegelten Inkreismittelpunkt und Höhenschnittpunkt (Abb. 6). Die drei Geraden sind kopunktal. Der Schnittpunkt liegt auf dem Umkreis. Dieser ist nun ein Siebenpunktekreis (DGS).
Abb. 6: Noch ein Schnittpunkt
Weblinks
Hans Walser: Inkreis
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/I/Inkreis3/Inkreis3.html
Hans Walser: Schnittpunkte 101-200
http://www.walser-h-m.ch/hans/Schnittpunkte/Schnittpunkte_101-200.pdf
Literatur
Walser, Hans (2012): 99 Schnittpunkte. Beispiele – Bilder – Beweise. 2. Auflage. EAGLE, Edition am Gutenbergplatz: Leipzig. ISBN 978-3-937219-95-0
Walser, Hans (1991): Ein Schnittpunktsatz. Praxis der Mathematik (33), 1991, 70-71.