Hans Walser, [20050813a], [20150112]
Antiprismen
Anregung: I. V., L.
1 Worum geht es?
Wenn wir bei einem Prisma mit quadratischer GrundflŠche die DeckflŠche um 45¡ verdrehen, entsteht ein Antiprisma mit einer MantelflŠche, welche aus gleichschenkligen Dreiecken zusammengesetzt ist. Im Sonderfall von rechtwinklig gleichschenkligen Dreiecken auf der MantelflŠche erhalten wir das Antiprisma der folgenden Figur.
Antiprisma mit quadratischem Boden und quadratischer DeckflŠche
Wir untersuchen Kšrper, welche durch Aufeinanderstapeln von mehreren solchen Antiprismen entstehen und gehen insbesondere der Frage nach, wie diese Kšrper durch Flechtmodelle dargestellt werden kšnnen.
2 Flechtmodell des Antiprismas
Das Antiprisma kann Ÿberraschenderweise durch ein Flechtmodell dargestellt werden, welches einen einzigen Streifen benštigt. Der Streifen setzt sich aus netto 16 Quadraten zusammen; zur Stabilisierung versenden wir zwei zusŠtzliche Quadrate, welche mit den ersten beiden zu Ÿberlappen sind. Die blauen Linien sind Faltlinien, alles Berg-Faltlinien.
Der Streifen
DeckflŠche und Boden des Flechtmodells bestehen ebenfalls aus rechtwinklig gleichschenkligen Dreiecken.
Antiprisma
Die Flechtstruktur entspricht topologisch einer vierfachen Schlinge. Die folgende Figur zeigt zwei verschiedene Darstellungen der Flechtstruktur
Flechtstruktur
3 Zwei Antiprismen
Wir stapeln nun zwei Antiprismen Ÿber einander. Das Flechtmodell benštigt nun vier Streifen mit je nette 6 Quadraten. In den Streifen sind auch Tal-Faltlinien (rot) nštig. Die Abbildung zeigt einen der vier benštigten Streifen.
Streifen
Das Flechtmodell kann nun vierfarbig gestaltet werden.
Zwei Antiprismen
Das Modell sieht aus wie ein verdrŸckter WŸrfel. TatsŠchlich hat es dieselbe Flechtstruktur wie der SchrŠg-Streifen-WŸrfel. Sie besteht aus vier verschlungenen Ringen.
Flechtstruktur
4 Drei Antiprismen
Bei drei aufeinander geschichteten Antiprismen kommt man theoretisch mit einem Streifen der NettolŠnge 32 aus. FŸr das Flechten benštigte man allerdings mehr als zwei HŠnde, so dass ich diesen Streifen in vier Teilstreifen zerlegt habe. Da es aber im Prinzip ein durchgehender Streifen ist, muss fŸr alle Teilstreifen dieselbe Farbe gewŠhlt werden.
Viertel eines Streifens
Das Modell sieht entsprechend monochrom aus.
Drei Antiprismen aufeinander
Die Flechtstruktur besteht aus einem einzigen, verschlungenen String.
Flechtstruktur
5 Vier Antiprismen
Wir benštigen zwei Streifen der NettolŠnge 20. In der Flechtpraxis ist es allerdings einfacher, mit vier Halbstreifen der NettolŠnge 10 zu arbeiten.
Halber Streifen
Das Modell kann zweifarbig gestaltet werden; auf der MantelflŠche entsteht eine schraubenlinienartige Struktur.
Vier Antiprismen aufeinander
Die Flechtstruktur ist entsprechend zweifarbig.
Flechtstruktur
6 Sechs Antiprismen
Hier benštigen wir wieder vier Streifen zu netto je 14 Quadraten.
Streifen
Das Modell wir vierfarbig.
Sechs Antiprismen
Die Flechtstruktur besteht aus vier mehrfach verschlungenen Kreisen.
Flechtstruktur
7 Acht Antiprismen
Bei acht Antiprismen, wir ahnen es, genŸgen zwei Streifen. Sie haben die NettolŠnge 36. Wir arbeiten allerdings auch hier mit zweimal zwei Halbstreifen der NettolŠnge 18.
Halbstreifen
Das zweifarbene Flechtmodell weist wieder eine schraubenlinienartige Struktur auf.
Acht Antiprismen
In der Flechtstruktur zeigt sich ein farblicher Doppelrhythmus von innen nach au§en.
Flechtstruktur
8 †bersicht
|
# Antiprismen |
# Streifen |
# Quadrate (netto) |
|
|
total |
pro Streifen |
||
|
1 |
1 |
16 |
16 |
|
2 |
4 |
24 |
6 |
|
3 |
1 |
32 |
32 |
|
4 |
2 |
40 |
20 |
|
5 |
1 |
48 |
48 |
|
6 |
4 |
56 |
14 |
|
7 |
1 |
64 |
64 |
|
8 |
2 |
72 |
36 |