Hans Walser, [20160821]

Apolloniuskreise im Dreieck

1 Worum geht es?

Geeignete Apolloniuskreise in einem beliebigen Dreieck führen zu einem Schnittpunkt mit 60°-Teilung.

Wir treffen auf klassische Namen: Apollonius von Perga (um 262 v. Chr. - um 190 v. Chr.) , Giovanni Benedetto Ceva (1647 - 1734), Pierre de Fermat (1601/07 - 1665) und Menelaos von Alexandria (um 70 - um 130).

2 Innere und äußere Teilpunkte

Wir arbeiten in einem, beliebigen Dreieck A₀A₁A₂ mit den Seitenlängen a₀, a₁, a₂.

In diesem Dreieck A₀A₁A₂ schneiden die innere beziehungsweise äußere Winkelhalbierende durch A₀ die Gegenseite in U₀ beziehungsweise in V₀. Der Mittelpunkt der Strecke U₀V₀ ist M₀. Entsprechend die übrigen Punkte U_i, V_i, M_i (Abb. 1).

Abb. 1: Teilpunkte

3 Kollineare Punkte

Wir vermuten (Abb. 2):

(1) Die drei Punkte V₀, V₁, V₂ sind kollinear.

(2) Ebenso sind die drei Punkte M₀, M₁, M₂ kollinear.

Die Vermutung (1) kann als Sonderfall des Satzes des Menelaos von Alexandria gezeigt werden. Im Hintergrund steckt der Satz von Ceva mit den Winkelhalbierenden als Ecktransversalen.

Die Vermutung (2) wird im Folgenden in dieser Studie bewiesen.

Die beiden Geraden sind nicht parallel.

Abb. 2: Kollineare Punkte

4 Apolloniuskreise

Mit k_i bezeichnen wir den Thaleskreis über der Strecke U_iV_i (Abb. 3). Er hat den Mittelpunkt M₁.

Der Kreis k_i ist auch der Apolloniuskreis zur Strecke A_i+1A_i+2 (Indizes modulo 3). Für einen Punkt P auf dem Kreis k₀ gilt folgende Abstandsrelation:

(1)

Allgemein (Indizes modulo 3):

(2)

Abb. 3: Apolloniuskreise

Vermutungen:

(3) Die drei Kreise k₀, k₁, k₂ haben zwei gemeinsame Schnittpunkte (in der Abbildung 3 mit S und T bezeichnet). Sie bilden also ein Kreisbüschel.

(4) Die drei Kreise k₀, k₁, k₂ schneiden sich in S und T unter Winkeln von 60°.

5 Schnittpunkte der Apolloniuskreise

Die Schnittpunkteigenschaft kann mit der Abstandsrelation (2) gezeigt werden.

Es sei P ein Schnittpunkt von k₀ und k₁. Dann gilt:

(3)

Somit:

(4)

Das heißt aber, dass der Punkt P auch auf dem Kreis k₂ liegt. Damit ist die Schnittpunkteigenschaft beweisen.

Die Mittelpunkte M₀, M₁, M₂ liegen auf der Mittelsenkrechten der Strecke ST. Damit ist auch die Vermutung (2) über die Kollinearität der drei Mittelpunkte bewiesen.

6 Regelmäßige Winkelteilung

Die Vermutung (4) über die Schnittwinkel 60° kann ich nicht beweisen.

Immerhin folgendes:

7 Fermat-Punkte

Wir zeichnen die drei gleichseitigen Dreiecke M₀M₁N₂, M₁M₂N₀ und M₂M₀N₃ (Abb. 4).

Abb. 4: Gleichseitige Dreiecke

Die drei Geraden M_iN_i sind kopunktal (und wir vermuten, dass der gemeinsame Schnittpunkt der Punkt T ist). Zudem schneiden sich die drei Geraden unter Winkeln von 60°. Der Hintergrund ist folgender: Der gemeinsame Schnittpunkt der drei Geraden M_iN_i ist einer der beiden Fermat-Punkte des (flachgedrückten) Dreieckes M₀M₁M₂.

Wir müssen also noch zeigen, dass die beiden Punkte S und T die beiden Fermat-Punkte sind. Die von den Mittelpunkten M₀, M₁, M₂ zu T verlaufenden Radien liegen dann auf den Geraden M_iN_i und bilden in T Winkel von 60°. Damit schneiden sich auch die Kreise k_i unter diesen Winkeln.