Hans Walser, [20111229a]
Approximation der Zykloide
Idee: R. W., F.
Wir rollen ein regelmŠ§iges n-Eck auf einer Geraden ab und verfolgen den Weg eines partikulŠren Eckpunktes. Beim Dreieck setzt sich dieser Weg aus zwei Kreisbogen zusammen, welche die SeitenlŠnge des Dreieckes als Radius haben (Abb. 1). Der Abrollprozess (besser wohl ãAbkippprozessÒ) von links nach rechts wird durch die FarbverŠnderung von rot zu blau indiziert.
Abb. 1: Abrollen des Dreiecks
Beim Quadrat haben wir drei Kreisbogen, der Radius des mittleren Bogens ist gleich der Quadratdiagonalen.
Abb. 2: Abrollen des Quadrates
Beim
Siegeneck (Abb. 3) haben wir sechs Bšgen, deren Radien
der Reihe nach die LŠngen der von einem Eckpunkt ausgehenden Seiten und
Diagonalen sind (ãDiagonalenfŠcherÒ). Bei einem n-Eck haben wir entsprechend Bšgen.
Abb. 3: Abrollen des Siebenecks
FŸr
wachsendes n nŠhert sich die
Bogenfigur der Zykloide an. Die Abbildung 4 zeigt die Situation fŸr .
Abb. 4: Approximation der Zykloiden
Im
regelmŠ§igen n-Eck mit Umkreisradius
1 bezeichnen wir mit
den Abstand
zweier Punkte
und
. Damit ist
, weiter
die SeitenlŠnge
des regelmŠ§igen n-Ecks, und
die LŠnge einer
Diagonalen, welche
Punkte
Ÿberspringt. Den Mittelpunkt des Umkreises bezeichnen wir mit M, den Radius mit r. Die LŠngen sind also
die sukzessiven Radien unserer Kreisbšgen. Die zugehšreigen Kreissektoren haben
alle den Zentriwinkel
.
Da jede
Seite von M aus unter einem Winkel
von erscheint, ist
. Analog ist
.
FŸr die
LŠnge des Bogens mit
dem Radius
erhalten wir
also:
Der
letzte Bogen ist nur noch ein Punkt, also . Wir dŸrfen also im Folgenden die Summationen von 1 bis n laufen lassen, obwohl wir nur
Kreisbogen haben.
FŸr die
GesamtlŠnge der Kurve
erhalten wir:
Wir
bearbeiten zunŠchst die Summe . Dazu setzen wir die Ortsvektoren der entsprechenden
Kreisteilungspunkte auf dem Einheitskreis zu einem Polygonzug zusammen. Die
Abbildung 5 zeigt die Situation fŸr
.
Abb. 5: Polygonzug aus Einheitsvektoren
Wir
erhalten ein halbes regelmŠ§iges der SeitenlŠnge
1. Die gesuchte Sinus-Summe ist die vertikale ãHšheÒ dieses
. Dies ist der Inkreisdurchmesser,
welcher die LŠnge
hat.
Somit ist:
FŸr erhalten wir die
Zykloide. Wie lang ist diese? Wir suchen den Grenzwert:
Die Tabelle 1 gibt einige Werte an.
|
|
2 |
6.283185307 |
3 |
7.255197457 |
4 |
7.584475592 |
5 |
7.735062392 |
10 |
7.93409415 |
20 |
7.983543891 |
30 |
7.992687845 |
40 |
7.995887242 |
50 |
7.997367932 |
100 |
7.999342016 |
Tabelle 1:
Werte von
Wir vermuten:
FŠllt das
tatsŠchlich raus?
Wir
berechnen mit Hilfe der Substitution
und unter
Anwendung der Regel von Bernoulli-de lÕH™pital. Es
ist:
Wir greifen zurŸck zur Formel
und fŸhren
die Bezeichnung ein. Damit wird:
FŸr den
GrenzŸbergang kšnnen wir
schreiben:
Damit wird:
Die Abbildung 6 ist ein Teil der Abbildung 4. ZusŠtzlich sind zwei Radien des regelmŠ§igen 20-Ecks eingezeichnet.
Abb. 6: Figur zum Anschauen
Der
GrenzŸbergang fŸhrt
entsprechend zur Figur der Abbildung 7 mit der Zykloide.
Abb. 7: Zykloide
Wir entnehmen daraus fŸr die Zykloide die Parameterdarstellung:
Diese Parameterdarstellung lŠsst sich umformen zur Ÿblichen Parameterdarstellung:
Sie hat aber rechentechnische Vorteile. Aus
erhalten wir:
Damit ergibt sich fŸr die BogenlŠnge der Zykloide:
Mit der Ÿblichen Parametrisierung wird die Berechnung des Integrals etwas aufwŠndiger.
Die Abbildung 8 zeigt dasselbe wie die Abbildung 3, aber ohne die Siebenecke. Es sind nur die Sektoren gezeichnet.
Abb. 8: Nur Sektoren
Nun
denken wir uns Figur als ein bewegliches Modell aus Sektoren, welche an den Bogen-Enden
gelenkig verbunden sind. In der Situation der Abbildung 8 haben wir zwischen
aufeinander folgenden Sektoren jeweils einen …ffnungswinkel von (allgemein
). Nun klappen wir das Modell zusammen, so dass die
Zwischenwinkel verschwinden (Abb. 9).
Abb. 9: Zusammengeklappte Sektoren
Die
Abbildung 10 bis 12 zeigen die Figuren fŸr ,
und
.
Abb. 10:
Abb. 11:
Abb. 12:
Es
entsteht sowohl innen wie au§en eine interessante Kurve. In der Abbildung 13
ist die Kurve durch approximiert.
Zudem ist ein Referenzquadrat der SeitenlŠnge 4 eingezeichnet.
Abb. 13: Was fŸr eine Kurve ist das?
Die Au§enkurve hat natŸrlich dieselbe LŠnge wie die Zykloide, also 8. Sie ist die Evolvente der Innenkurve.
Die LŠnge
der Innenkurve ist 4. Dies lŠsst sich leicht beweisen. FŸr ist die Innenkurve
ein Polygonzug, dessen StreckenlŠngen die Differenzen aufeinander folgender
sind. Die GesamtlŠnge
ist also:
Somit ist:
Vermutung:
Die halbe Innenkurve ist Šhnlich zur halben Au§enkurve (Drehstreckung, Drehung um , Streckfaktor 2).