Hans Walser, [20250627]

Arithmetisches Dreieck

Anregung: Helmut Mallas, Flensburg

1 Worum es geht

In einem arithmetischen Dreieck bilden die Seitenlänge eine arithmetische Folge.

Es werden verschiedene Darstellungsarten und sowie Sonderfälle untersucht.

2 Bezeichnungen und Normierungen

Wir verwenden die üblichen Bezeichnungen für ein Dreieck in der Schulgeometrie.

Wir werden jeweils eine Seitenlänge auf 1 normieren.

3 Normierung a = 1

Wir normieren die Seitenlänge a auf 1. Es ist dann:

a = 1, b = 1 + d, c = 1 + 2d

Wegen der Dreiecksungleichung ist –⅓ < d < 1.

Für den Umfang u erhalten wir:

u = 3 + 3d

Der Umfang ist also variabel.

3.1 Darstellung im Koordinatensystem

Wir halten die Seite a fest und zeichnen zu jedem Wert von d das Dreieck mit positivem Orientierungssinn der Beschriftung (Abb. 1).

Abb. 1: Arithmetische Dreiecke mit fester Seite a

3.2 Bahnkurve

Die Bahnkurve des Punktes A hat die Parameterdarstellung:

Die Herleitung benötigt einiges an Rechnung.

3.3 Sonderfälle

Für d = –⅕ erhalten wir das Dreieck mit den Seitenlängen a = 1, b = ⅘ und c = ⅗ (Abb. 2). Dies ist das pythagoreische Dreieck mit dem Seitenverhältnis 5:4:3.

Abb. 2: Pythagoreisches Dreieck

Für d = 0 ergibt sich ein gleichseitiges Dreieck (Abb. 3).

Abb. 3: Gleichseitiges Dreieck

Für d = ⅓ erhalten wir das Dreieck mit den Seitenlängen a = 1, b = 4/3 und c = 5/3 (Abb. 4). Dies ist das pythagoreische Dreieck mit dem Seitenverhältnis 3:4:5.

Abb. 4: Pythagoreisches Dreieck zum Zweiten

Für d = √(⅓) ≈ 0.577 ergibt sich in unserer Disposition das Dreieck mit maximalem Flächeninhalt (Abb. 5).

Abb. 5: Maximaler Flächeninhalt

Der Punkt A hat die Koordinaten:

4 Normierung b = 2

Wir normieren die Seitenlänge b auf 2. Es ist dann:

a = 2 – d, b = 2, c = 2 + d

Wegen der Dreiecksungleichung ist –1 < d < 1.

Für den Umfang u erhalten wir die konstante Länge 6.

Die Abbildung 6 zeigt die Situation im Koordinatensystem.

Abb. 6: Arithmetisches Dreieck mit fester Seite b

4.1 Bahnkurve

Die Bahnkurve des Punktes B ist die Ellipse mit den Brennpunkten A und C und den Halbachsen 2 und √3. Dies folgt unmittelbar aus der Konstruktion („Gärtnerkonstruktion der Ellipse“).

4.2 Sonderfälle

Für d = 0 ergibt sich ein gleichseitiges Dreieck (Abb. 7).

Abb. 7: Gleichseitiges Dreieck

Dies ist auch die Lösung mit dem größten Flächeninhalt.

Da wir im Unterschied zur Lösung mit der normierten Seite a nun einen konstanten Umfang haben, ergibt sich im Vergleich mit der Abbildung 5 eine andere Maximallösung.

Für d = ± ½ ergibt sich je ein pythagoreisches Dreieck mit dem Seitenverhältnis 3:4:5 (Abb. 8).

Abb. 8: Pythagoreisches Dreieck

Weblink

Hans Walser: Arithmetische Folge

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/A/Arithmetische_Folge/Arithmetische_Folge.html