Hans Walser, [20080105a]

Berge

Eine Figurenfolge im Einheitsquadrat. Wir beginnen mit einem Dreieck.

 

Start

 

         

 

         

 

         

Weitere Spitzen

 

         

 

         

 

         

Immer mehr Spitzen

 

Alpenglźhn

 

Dasselbe in Blaurot. Wie gro§ ist der rote FlŠchenanteil?

 

Blaurot

 

Wir listen schrittweise die blauen und roten FlŠchenanteile auf.

 

Schrittweises Vorgehen

 

Wir lesen — mit einigem Bruchrechnen — aus den Figuren ab:

 

 

 

 

 

 

 

 

Die GesetzmŠ§igkeit ist offensichtlich.

Fźr den roten Anteil erhalten wir:

 

 

Aus der Formel (Herleitung unten)  erhalten wir einen roten Anteil von . Der blaue Anteil ist entsprechend .

Herleitung der Formel:

Fźr eine geometrische Reihe gilt:

 

 

Durch Ableiten auf beiden Seiten erhalten wir:

 

 

Multiplikation mit  liefert die gewźnschte Formel.