Hans Walser, [20260631]

Bewegte Fünfecke

1 Worum es geht

Kinematische Spielerei mit zehn kongruenten regelmäßigen Fünfecken

2 Eine Schließungsfigur

Wir fügen zehn kongruente regelmäßige Fünfecke aneinander (Abb. 1). Die Fünfecke überlappen sich, daher sind sie transparent gefärbt.

Abb. 1: Aneinanderfügen

Die Figur schließt sich nach zehn Schritten. Das elfte Fünfeck fällt mit dem ersten zusammen.

Zwei aufeinanderfolgende Fünfecke haben eine Kante gemeinsam (Abb. 2).

Aufeinanderfolgende Fünfecke haben im Wechsel die Spitze nach oben und nach unten.

Abb. 2: Zehn Fünfecke

3 Räumliche Interpretationen

Die zweidimensionale Figur (Abb. 2) kann interpretiert werden als Sicht von oben auf das Rhombenikosaeder (Abb. 3).

Abb. 3: Rhombenikosaeder. Sicht von oben

Ebenso kann die zweidimensionale Figur (Abb. 2) interpretiert werden als Sicht von oben auf das Rhombentriakontaeder (Abb. 4).

Abb. 4: Rhombentriakontaeder. Sicht von oben

4 Relatives Gleiten

Wir lassen nun je zwei benachbarte Fünfecke in der Abbildung 2 an ihrer gemeinsamen Kante abgleiten (Abb. 5). Wenn man sich auf eine partikuläre Farbe konzentriert, sieht man, dass das zugehörige Fünfeck einen Kreislauf macht, ohne dabei gedreht zu werden.

Abb. 5: Relatives Gleiten

Die Abbildung 6 zeigt die Situation in der größten Ausdehnung. In dieser Situation findet ein Gleitkanten-Wechsel über Eckpunkte der Fünfecke -statt.

Abb. 6: Größte Ausdehnung

5 Hintergrund

Die Mittelpunkte der Fünfecke bewegen sich auf zwei zueinander um 36° verdrehten regelmäßigen Fünfecken (blau in Abb. 7).

Abb. 7: Bahnkurve der Mittelpunkte

Die Außenkanten der Fünfecke bewegen sich ebenfalls auf zwei zueinander um 36° verdrehten regelmäßigen Fünfecken (rot in Abb. 8).

Abb. 8: Gleitrahmen

6 Ausblick

Der Autor vermutet, dass sich dasselbe Spielchen auch mit anderen regelmäßigen Vielecken mit ungerader Eckenzahl durchführen lässt.

Weblinks

Hans Walser: Bewegte Dreiecke

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/B/Bewegte_Dreiecke/Bewegte_Dreiecke.html

Hans Walser: Moving Triangles

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/B/Bewegte_Dreiecke/Moving_Triangles.html

Hans Walser: Bewegte Fünfecke

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/B/Bewegte_Fuenfecke/Bewegte_Fuenfecke.html

Hans Walser: Moving Pentagons

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/B/Bewegte_Fuenfecke/Moving_Pentagons.html

Hans Walser: Bewegte Quadrate

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/B/Bewegte_Quadrate/Bewegte_Quadrate.html

Hans Walser: Moving Squares

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/B/Bewegte_Quadrate/Moving_Squares.html

Hans Walser: Bewegte Siebenecke

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/B/Bewegte_Siebenecke/Bewegte_Siebenecke.html

Hans Walser: Moving Heptagons

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/B/Bewegte_Siebenecke/Moving_Heptagons.html