Hans Walser, [20170215]

Brennpunkt und Leitlinie der Parabel

Anregung: M. G., F.

1     Worum geht es?

Eine Parabel sei durch fźnf Punkte A, B, C, D, E gegeben (Abb. 1).

Abb. 1: Parabel durch fźnf Punkte

Gesucht sind der Brennpunkt und die Leitlinie der Parabel. Gibt es ein Verfahren ohne Rechnen?

Bemerkung 1: Durch fźnf Punkte kann auch eine Ellipse oder eine Hyperbel gegeben sein. Der Fall der Parabel ist ein †bergangsfall und daher sehr unwahrscheinlich.

Fźr den Fall der Ellipse siehe [1]

Wie es bei Hyperbeln geht, wei§ ich nicht.

Bemerkung 2: Wir werden im Folgenden mit Tangenten an die Ellipse in Ellipsenpunkten arbeiten. Dazu gibt es eine Konstruktion [2], die wir im Folgenden als Makro verwenden.

Bemerkung 3: In den Abbildungen ist jeweils die Parabel magenta eingezeichnet. Dies hat aber rein dekorative Bedeutung. Die Parabel wird fźr die Konstruktionen nicht verwendet.

Bemerkung 4: Im Folgenden wird das Konstruktionsverfahren beschrieben. Die Beweise źberlassen wir dem der Lust hat.  

2     Konstruktionsverfahren

Es sei F der Mittelpunkt der Strecke AB und G der Pol der Geraden AB (Abb. 2). Der Pol G ist der Schnittpunkt der Tangenten in A und B. Die Gerade FG ist eine SchrŠgspiegelachse der Parabel zur Richtung von AB. Diese SchrŠgspiegelachse FG ist parallel zur Symmetrieachse der Parabel.

Abb. 2: SchrŠgspiegelachse

Der Mittelpunkt H der Strecke FG liegt auf der Parabel (Abb. 3). Die Parallele zu AB durch H ist Tangente an die Parabel.

Abb. 3: Parabelpunkt und Tangente

Wenn wir FG an der Tangente in H spiegeln, erhalten wir eine Gerade durch den gesuchten Brennpunkt der Parabel (Abb. 4).

Abb. 4: Gerade durch den Brennpunkt

Wiederholen der Prozedur mit B und C liefert den Brennpunkt L (Abb. 5).

Abb. 5: Brennpunkt

Wir tragen die AbstŠnde HL und KL auf den SchrŠgspiegelachsen ab und erhalten die Leitlinie (Abb. 6).

Abb. 6: Leitlinie

In [3] wird eine Konstruktion ohne Tangenten gezeigt.

 

Websites

[1] Hans Walser: Brennpunkte der Ellipse (15. 2. 2017)

www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/B/Brennpunkte_Ellipse2/Brennpunkte_Ellipse2.htm

 

[2] Hans Walser: Tangente an Kegelschnitt (15. 2. 2017)

www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/T/Tangente_an_Kegelschnitt/Tangente_an_Kegelschnitt.htm

 

[3] Hans Walser: Brennpunkt und Leitlinie der Parabel (15. 2. 2017)

www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/B/Brennpunkt_Parabel/Brennpunkt_Parabel.htm