Hans Walser, [20260208]
Brettspiel
Anregung: Günter Maresch, Salzburg
1 Worum es geht
Symmetrien und Anordnungen im Dreipunkt-Raster.
2 Das Brettspiel
In einem Vortrag zur didaktischen Weltverbesserung wurde beiläufig ein Brettspiel gezeigt, das ich gemäß Abbildung 1 in Erinnerung habe.
Abb. 1.1: Brettspiel
Es fällt sofort auf, dass die roten Punkte im Vergleich mit den benachbarten gelben Punkten krass in der Überzahl sind. — Wie kann diese Ungleichheit behoben werden?
Die Abbildung 1.2 zeigt das Brettspiel unverzerrt.
Abb. 1.2: Brettspiel
3 Erinnerung: Davidstern
Die Figur erinnert an den Davidstern (Abb. 2).
Abb. 2: Davidstern
Die farbigen Spitzen sind flächengleich. Wir können sie der Reihe nach einklappen, bis sie das zentrale Sechseck lückenlos und überlappungsfrei bedecken (Abb. 3).
Abb. 3: Einklappen im Davidstern
Versuchen wir, in unserem Brettspiel die Ecken entsprechend einzuklappen (Abb. 4). Die roten Punkte lassen sich problemlos einklappen.
Abb. 4: Einklappen im Brettspiel
Bei den gelben Punkten ist es unschön, dass nicht alles hineingeht. Es bleibt außen etwas vor.
4 Der Streit um die Mitte
Beim Einklappen der grünen Punkte kommt es zu einem Streit um den Mittelpunkt des zentralen Sechseckes. Er wird sowohl von rot wie von grün beansprucht.
5 Modifikationen des Brettspiels
Wir versuchen nun die Ungleichheiten im Brettspiel der Abbildung 1 zu beheben.
Dazu einige Vorschläge.
5.1 Nivellierung nach unten
Wir reduzieren die Anzahlen der Punkte auf das gemeinsame Minimum (Abb. 5). Nun ist jede Farbe gleich oft vertreten.
Abb. 5: Nivellierung nach unten
Beim Einklappen können wir nicht mit einer Geradenspiegelung arbeiten, aber mit einer geeigneten Punktspiegelung geht es (Abb. 6). Es ist ein Punktspiegeln mit dem jeweils angegebenen Zentrum.
Abb. 6: Einspiegeln
Der Mittelpunkt des Sechseckes bleibt frei. Wir haben eine Lücke.
5.2 Kleiner Ausgleich
In der Version der Abbildung 7 hat jede Farbe gleich viele Punkte. Dafür ist keines der gleichseitigen Dreiecke vollständig, es fehlt jeweils ein Punkt.
Abb. 7: Gleich viele Punkte für jede Farbe
Beim Einklappen gibt es schon beim zweiten Schritt Überlappungen (Abb. 8).
Abb. 8: Überlappungen beim zweiten Schritt
6 Das Problem der Mitte
Das Brettspiel (Abb. 1) hat, von den Farben abgesehen, eine sechsteilige Drehsymmetrie und einen Punkt im Zentrum. Die Gesamtzahl der Punkte ist also ein Vielfaches von sechs plus eins, also kongruent 1 modulo 6. Damit ist ein lücken- und überlappungsfreies Einklappen oder Einspiegeln nicht möglich.
7 Pick
Nach einer Idee von Pick (Satz von Pick) geben wir den farbigen Punkten ungleiche Gewichte. Im Innern eines farbigen Dreiecks haben sie das Gewicht 1, am Rand ½ und in den Ecken nur ⅙ (Abb. 9).
Abb. 9: Ungleiche Gewichtung der Punkte
Sieht aus wie eine Lochblende mit dem Davidstern (Abb. 2) dahinter.
Nun können wir aber problemlos einklappen (Abb. 10).
Abb. 10: Einklappen
Das Problem dieser Lösung ist das Aufteilen der Punkte in Halbe und Sechstel. Im Originalspiel sind die Punkte wohl farbige Bolzen aus Hartholz.
8 Voronoi
Das Voronoi-Diagramm unseres Punktrasters ist ein Hexagonalraster (Abb. 11).
Abb. 11: Voronoi-Diagramm des Brettspiels
Die Abbildung 12 zeigt das Hexagonalraster ohne die Punkte des Brettspiels.
e
Abb. 12: Hexagonalraster
Wir arbeiten neu mit den Gitterpunkten des Hexgonalrasters (Abb. 13).
Abb. 13: Gitterpunkte
Nun können wir die Punkte analog zum ursprünglichen Brettspiel einfärben (Abb. 14). Wir haben von jeder Farbe gleich viele Punkte.
Abb. 14: Einfärben der Punkte
Das Einklappen (Hineinspiegeln) geht jetzt problemlos (Abb. 15). Der Witz der Sache ist, dass wir jetzt keinen Punkt mehr in der Mitte haben.
Abb. 15: Hineinspiegeln
Die Abbildung 16 zeigt die Endlage der hineingespiegelten Punkte. Lückenlos und überlappungsfrei.
Abb. 16: Hineingespiegelte Punkte