Hans Walser, [20080202a], [20131230c]

Cheops-Pyramide

Es ist immer wieder versucht worden, SchlŸsselzahlen der Mathematik wie die Kreiszahl ¹ oder den Goldenen Schnitt in den Ma§verhŠltnissen der Cheops-Pyramide zu finden.

Im Laufe der Zeit ist diese Pyramide natŸrlich durch Verwitterung und menschliche EinflŸsse derart erodiert dass es nicht mehr mšglich ist, die ursprŸnglich von den Bauherren vorgesehenen Ma§e festzustellen.

Der Steigungswinkel der vier SeitenflŠchen der Pyramide wurde im frŸhen 19. Jahrhundert von Howard-Vyse mit 51.85¡ gemessen (vgl. [Bau], S. 52). Howard-Vyse verwendete dazu Verkleidungssteine, die an der untersten Schicht noch unversehrt an ihrem originalen Platz standen. Diese Steine sind in der Zwischenzeit zerstšrt worden, so dass eine Nachmessung nicht mehr mšglich ist.

Den folgenden Rechnungen basieren auf einer Pyramide mit der SeitenlŠnge 2a an der Grundkante und der Hšhe h. Ferner sei k die Hšhe der gleichschenkligen Seitendreiecke.

Pyramide

†ber die Ma§verhŠltnisse bei der Cheops-Pyramide sind im Laufe der Zeit verschiedene Hypothesen entstanden. Im Folgenden werden die drei wichtigsten Hypothesen besprochen.


Rationales VerhŠltnis

Oft wird angenommen, dass die Steigung der SeitenflŠchen ein einfaches rationales VerhŠltnis, nŠmlich 28:22 ist. In diesem Falle wŠre

 

 

und

 

.

 

FŸr den Steigungswinkel der SeitenflŠchen ergibt sich aus dieser Annahme:

 

 

Der Goldene Schnitt

Aus dem numerischen Wert  ergibt sich die Vermutung, dass die Bauleute den Goldenen Schnitt mit  in der Pyramide vermauert haben.

FŸr den Steigungswinkel der SeitenflŠchen ergibt sich aus dieser zweiten Annahme:

 

 

Die Kreiszahl ¹

Eine weitere Hypothese ist, dass die Hšhe der Pyramide gleich dem Radius des Kreises gewŠhlt wurde, welcher den gleichen Umfang hat wie das Basisquadrat der Pyramide. Dies hie§e:

 

 

Daraus ergibt sich:

 

 

FŸr den Steigungswinkel der SeitenflŠchen ergibt sich aus dieser dritten Annahme:

 

.

 

Vergleich

Die drei Hypothesen ergeben Steigungswinkel, die sich nur wenig unterscheiden. Sie widersprechen sich aber, und dies nicht nur numerisch. Im ersten Fall haben wir eine rationale Steigung, im zweiten Fall mit dem Goldenen Schnitt eine irrationale Steigung, und zwar eine algebraisch-irrationale Steigung, welche sich durch WurzelausdrŸcke angeben lŠsst. Im dritten Fall mit der Kreiszahl ¹ haben wir schlie§lich eine transzendent-irrationale Steigung.

NŠherungswerte

Der Vergleich der drei Hypothesen fŸhrt aber auf NŠherungswerte fŸr die Kreiszahl ¹ wie auch fŸr den Goldenen Schnitt.

Aus der Annahme einer rationalen Steigung von 28:22 ergibt sich:

 

, also

 

FŸr viele praktische Zwecke ist dies ein recht brauchbarer NŠherungswert. Ferner erhalten wir:

 

 

Dieser NŠherungswert ist wenig sinnvoll, da  ohnehin durch eine Quadratwurzel gegeben ist.

Hingegen kšnnen wir jetzt auch die Kreiszahl ¹ durch den Goldenen Schnitt approximieren und umgekehrt. Aus

 

 

erhalten wir einerseits

 

 

und andererseits

 

   sowie   .

 


Literatur

[Bau]     Baumann, Jelass: Die Entfesselung des Denkens – Pythagoras. ZŸrich: Nimrod-Literaturverlag 2003.