Hans Walser, [20220629]
DIN-Ellipse
Asymmetrische Konstruktion einer Ellipse im DIN-Format.
Zu einem Kreis zeichnen wir ein orthogonales Achsenkreuz und wählen auf dem rechten horizontalen Kreuzesarm einen beliebigen Punkt (Abb. 1).
Abb. 1: Kreis, Kreuz und Punkt
In diese Figur zeichnen wir einen blauen Kreis gemäß Abbildung 2.
Abb. 2: Blauer Kreis
Weiter zeichnen wir einen grünen Kreis gemäß Abbildung 3.
Abb. 3: Grüner Kreis
Der blaue und der grüne Kreis schneiden einander in zwei roten Punkten.
Wir fragen nach den Bahnkurven der roten Punkte, wenn der schwarze Punkt auf dem rechten Kreuzesarm variiert wird.
Die Abbildung 4 zeigt die Bahnkurven.
Abb. 4: Bahnkurven
Wir vermuten, dass die beiden Bahnkurven zusammen eine Ellipse bilden. Dies ist erstaunlich, da die Konstruktion bezüglich der senkrechten Kreuzlinie asymmetrisch ist, die vermutete Ellipse aber symmetrisch.
Wir beweisen rechnerisch, dass die Bahnkurven tatsächlich eine Ellipse bilden.
Den Startkreis nehmen wir als Einheitskreis (Abb. 5).
Abb. 5: Disposition
Der variable Punkt auf dem rechten Kreuzesarm habe die Koordinaten (p, 0). Für den blauen Kreis k1 erhalten wir Mittelpunkt, Radius und Kreisgleichung wie folgt:
Die entsprechenden Daten für den grünen Kreis k2 lauten:
Für die Schnittpunkte der beiden Kreise erhalten wir in Abhängigkeit von p:
Elimination des Parameters p ergibt:
Dies ist die Gleichung einer Ellipse. Sie hat die Halbachsen:
Das Achsenverhältnis der Ellipse ist gleich dem Seitenverhältnis eines Rechteckes im DIN-Format.
Wir können der Ellipse ein diagonal gestelltes Einheitsquadrat zwischen die stumpfen Scheitel einpassen (Abb. 6).
Abb. 6: Diagonal gestelltes Einheitsquadrat
Die beiden freien Quadratecken liegen in den Brennpunkten der Ellipse.
Weblink
Hans Walser: Ellipsen im DIN-Format
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/E/Ellipsen_DIN/Ellipsen_DIN.htm
Literatur
Walser, Hans (2013): DIN A4 in Raum und Zeit. Silbernes Rechteck – Goldenes Trapez – DIN-Quader. Leipzig: EAGLE, Edition am Gutenbergplatz. ISBN 978-3-937219-69-1.