Hans Walser, [20120822]
DIN-Quader
Ein Quader soll durch eine Mittelparallelebene volumenmŠ§ig so halbiert werden, dass die beiden Teilquader kongruent und zum Ausgangsquader Šhnlich sind.
Bearbeitung
Der Ausgangsquader habe die KantenlŠngen a, b und c mit und der Normierung . Ein Teilquader hat wegen der geforderten €hnlichkeit die KantenlŠngen , und . Die Volumenbedingung liefert
Da die lŠngste Kante halbiert c zur kŸrzesten Kante wird, haben wir
Die mittlere Kante b wird zur lŠngsten Kante , also ist
Der Ausgangsquader hat also die KantenlŠngen , , . Unter Weglassung der Normierung ergibt sich das KantenverhŠltnis
Die drei KantenlŠngen bilden eine geometrische Folge. Die mittlere Kante ist das geometrische Mittel der kŸrzesten und der lŠngsten Kante.
Numerische Werte:
Die SchlŸsselgrš§e lŠsst sich nicht mit Zirkel und Lineal konstruieren (Delisches Problem).
Die Abbildung 1 zeigt die Abwicklung eines solchen Quaders.
Abb. 1: Abwicklung
Die Abbildung 2 zeigt die fŸr ein Flechtmodell benštigten drei Streifen.
Abb. 2: Die drei Streifen fŸr das Flechtmodell
Die Abbildung 3 zeigt Flechtmodelle aus drei Streifen.
Abb. 3: Flechtmodelle aus drei Streifen
Die Abbildung 4 zeigt den DIN-Quader in isometrischer Darstellung mit dem EinheitswŸrfel zu Vergleich.
Abb. 4: WŸrfel und DIN-Quader
Ein Quader soll durch zwei Mittelparallelebenen volumenmŠ§ig so geviertelt werden, dass die vier Teilquader kongruent und zum Ausgangsquader Šhnlich sind.
Bearbeitung
Der Ausgangsquader hat ebenfalls das KantenverhŠltnis
.
Zwei Mal halbiert ist gut geviertelt.
Ein Quader soll durch drei Mittelparallelebenen volumenmŠ§ig so geachtelt werden, dass die acht Teilquader kongruent und zum Ausgangsquader Šhnlich sind.
Bearbeitung
Geht mit jedem Quader.
a) Ein 4d-Quader soll durch eine Mittelparallelebene volumenmŠ§ig so halbiert werden, dass die beiden 4d-Teilquader kongruent und zum Ausgangs-4d-Quader Šhnlich sind.
b) Ein 4d-Quader soll durch zwei Mittelparallelebenen volumenmŠ§ig so geviertelt werden, dass die vier 4d-Teilquader kongruent und zum Ausgangs-4d-Quader Šhnlich sind.
c) Ein 4d-Quader soll durch drei Mittelparallelebenen volumenmŠ§ig so geachtelt werden, dass die acht 4d-Teilquader kongruent und zum Ausgangs-4d-Quader Šhnlich sind.
Bearbeitung
Der Ausgangs-4d-Quader hat in allen drei FŠllen das KantenverhŠltnis
.
Analog zur DIN-A-Reihe suchen wir in der Dimension n eine Reihe von Quadern Qk, so dass wir durch Halbieren von Qk auf Qk+1 kommen. Zudem soll Q0 das n-d-Volumen 1 haben. Die n KantenlŠngen des Quaders Qk bezeichnen wir mit
.
FŸr den LŠngenverkŸrzungsfaktor f haben wir . Damit ist:
Im Folgenden einige Beispiele.
Wir haben den Verkleinerungsfaktor . Tabelle:
Q0 |
1.0 |
Q1 |
0.5 |
Q2 |
0.25 |
Q3 |
0.125 |
Q4 |
0.0625 |
Q5 |
0.03125 |
Q6 |
0.015625 |
Q7 |
0.0078125 |
Q8 |
0.0039062 |
Q9 |
0.0019531 |
Q10 |
0.00097656 |
Q11 |
0.00048828 |
Q12 |
0.00024414 |
Q13 |
0.00012207 |
Q14 |
0.000061035 |
Q15 |
0.000030518 |
Die EinheitslŠnge wird sukzessive halbiert. Alle Zahlen sind rational.
Wir haben den Verkleinerungsfaktor . Wir erhalten die Ÿbliche A-Tabelle.
A0 |
0.8409 *
1.1892 |
A1 |
0.5946 *
0.8409 |
A2 |
0.42045 *
0.5946 |
A3 |
0.2973 *
0.42045 |
A4 |
0.21022 *
0.2973 |
A5 |
0.14865 *
0.21022 |
A6 |
0.10511 *
0.14865 |
A7 |
0.074325 *
0.10511 |
A8 |
0.052556 *
0.074325 |
A9 |
0.037163 *
0.052556 |
A10 |
0.026278 *
0.037163 |
A11 |
0.018581 *
0.026278 |
A12 |
0.013139 *
0.018581 |
A13 |
0.0092907 *
0.013139 |
A14 |
0.0065695 *
0.0092907 |
A15 |
0.0046453 *
0.0065695 |
Alle TabelleneintrŠge sind irrational.
Die Abbildung 5 zeigt die Ÿbliche Aufgliederung. Das Umrissrechteck hat das Format A0.
Abb. 5: Aufgliederung
Wir haben den Verkleinerungsfaktor . Tabelle:
Q0 |
0.7937 * 1 * 1.2599 |
Q1 |
0.62996 * 0.7937 * 1 |
Q2 |
0.5 * 0.62996 * 0.7937 |
Q3 |
0.39685 * 0.5 * 0.62996 |
Q4 |
0.31498 * 0.39685 * 0.5 |
Q5 |
0.25 * 0.31498 * 0.39685 |
Q6 |
0.19843 * 0.25 * 0.31498 |
Q7 |
0.15749 * 0.19843 * 0.25 |
Q8 |
0.125 * 0.15749 * 0.19843 |
Q9 |
0.099213 * 0.125 * 0.15749 |
Q10 |
0.078745 * 0.099213 * 0.125 |
Q11 |
0.0625 * 0.078745 * 0.099213 |
Q12 |
0.049606 * 0.0625 * 0.078745 |
Q13 |
0.039373 * 0.049606 * 0.0625 |
Q14 |
0.03125 * 0.039373 * 0.049606 |
Q15 |
0.024803 * 0.03125 * 0.039373 |
Wir haben bei Q0 die mittlere KantenlŠnge 1. In jedem Quader ist eine KantenlŠnge rational. Der Faktor lŠsst sich aber nicht mit Zirkel und Lineal konstruieren (Delisches Problem).
Die Abbildungsfolge 6 zeigt die Aufgliederung von Q1, Q2, Q3, ... , Q12.
Abb. 6.1: Q1 bis Q12
Die Grenzfigur ist Q0.
Wir haben den Verkleinerungsfaktor . Tabelle:
Q0 |
0.77111 * 0.917 * 1.0905 * 1.2968 |
Q1 |
0.64842 * 0.77111 * 0.917 * 1.0905 |
Q2 |
0.54525 * 0.64842 * 0.77111 * 0.917 |
Q3 |
0.4585 * 0.54525 * 0.64842 * 0.77111 |
Q4 |
0.38555 * 0.4585 * 0.54525 * 0.64842 |
Q5 |
0.32421 * 0.38555 * 0.4585 * 0.54525 |
Q6 |
0.27263 * 0.32421 * 0.38555 * 0.4585 |
Q7 |
0.22925 * 0.27263 * 0.32421 * 0.38555 |
Q8 |
0.19278 * 0.22925 * 0.27263 * 0.32421 |
Q9 |
0.1621 * 0.19278 * 0.22925 * 0.27263 |
Q10 |
0.13631 * 0.1621 * 0.19278 * 0.22925 |
Q11 |
0.11463 * 0.13631 * 0.1621 * 0.19278 |
Q12 |
0.096388 * 0.11463 * 0.13631 * 0.1621 |
Q13 |
0.081052 * 0.096388 * 0.11463 * 0.13631 |
Q14 |
0.068157 * 0.081052 * 0.096388 * 0.11463 |
Q15 |
0.057313 * 0.068157 * 0.081052 * 0.096388 |
Wir haben den Verkleinerungsfaktor . Tabelle:
Q0 |
0.75786 * 0.87055 * 1 * 1.1487 * 1.3195 |
Q1 |
0.65975 * 0.75786 * 0.87055 * 1 * 1.1487 |
Q2 |
0.57435 * 0.65975 * 0.75786 * 0.87055 * 1 |
Q3 |
0.5 * 0.57435 * 0.65975 * 0.75786 *
0.87055 |
Q4 |
0.43528 * 0.5 * 0.57435 * 0.65975 * 0.75786 |
Q5 |
0.37893 * 0.43528 * 0.5 * 0.57435 *
0.65975 |
Q6 |
0.32988 * 0.37893 * 0.43528 * 0.5 *
0.57435 |
Q7 |
0.28717 * 0.32988 * 0.37893 * 0.43528 *
0.5 |
Q8 |
0.25 * 0.28717 * 0.32988 * 0.37893 *
0.43528 |
Q9 |
0.21764 * 0.25 * 0.28717 * 0.32988 *
0.37893 |
Q10 |
0.18946 * 0.21764 * 0.25 * 0.28717 *
0.32988 |
Q11 |
0.16494 * 0.18946 * 0.21764 * 0.25 *
0.28717 |
Q12 |
0.14359 * 0.16494 * 0.18946 * 0.21764 *
0.25 |
Q13 |
0.125 * 0.14359 * 0.16494 * 0.18946 *
0.21764 |
Q14 |
0.10882 * 0.125 * 0.14359 * 0.16494 *
0.18946 |
Q15 |
0.094732 * 0.10882 * 0.125 * 0.14359 *
0.16494 |
Wir haben bei Q0 die 1 als mittlere KantenlŠnge. Generell ist das so bei ungeraden Dimensionen, da bei einer geometrischen Folge mit ungerader Gliederzahl der Median gleich dem geometrischen Mittel ist.