Hans Walser, [20120608]

DIN-Raster  und Quadratraster

1        Die Raster

1.1      DIN-Raster

DIN-Raster gibt es im Hochformat und im Querformat. Es gibt verschiedene Darstellungsarten, als FlŠchen-, Linien- oder Punktraster.

DIN-Raster als FlŠchenraster

Linienraster

Ein Linienraster erhalten wir, wenn wir ein A4-Papier mehrfach falten und dann wieder auffalten.

Faltraster

Punktraster

Ein Punktraster ergibt sich auch, wenn wir ein A4-Papier mehrfach falten, dann alle Ecken ein bisschen abschneiden und dann wieder auffalten.

Scherenschnitt

Die Raster im Hochformat und im Querformat sind nicht kompatibel: Wenn wir einen Rasterpunkt des Hochformat-Rasters auf einen Rasterpunkt des Querformat-Rasters legen, gibt es auch bei unendlich ausgedehnten Rastern keine weiteren gemeinsamen Rasterpunkte mehr.

Nur ein Punkt ist in beiden Rastern

Beweis wie Ÿblich in solchen Sachen indirekt: Wir nehmen einen weiteren gemeinsamen Rasterpunkt an. Beim Rechteck mit rasteparallelen Seiten und den beiden gemeinsamen Rasterpunkten als diametrale Ecken sind dann auch die beiden anderen Ecken gemeinsame Rasterpunkte. Die horizontale Seite dieses Rechteckes setzt sich also einerseits aus n kurzen Rasterseiten (der LŠnge 1) und andererseits aus m langen Rasterseiten (der LŠnge ) zusammen. Somit haben wir:

Dies steht im Widerspruch zur IrrationalitŠt von .

1.2      Quadratraster

Das Quadratraster kennen alle von der Schule her.

Quadratraster

2        Unterteilen

2.1      Halbieren

2.1.1     DIN-Raster

DIN-Raster kšnnen flŠchenmŠ§ig durch eine Schar von Mittelparallelen halbiert werden. Aus dem Hochformat-Raster wird ein Querformat-Raster und umgekehrt. Die Rasterlinien des alten Rasters sind auch Rasterlinien des neuen Rasters.

FlŠchenmŠ§ige Halbierung

Frage: Was ergibt sich, wenn wir mit Diagonalen gemŠ§ Abbildung arbeiten? (Anregung: Peter Gallin, ZŸrich)

Und?

Wer meint, das Bild rechts hŠnge schief im Satzspiegel, darf Ÿber optische TŠuschungen nachdenken. 

Bearbeitung

Es ergibt sich ein flŠchenmŠ§ig gedritteltes DIN-Raster.

Zum Nachweis setzen wir die Schmalseite des Ausgangsraster 1, die Langseite ist . Der FlŠcheninhalt eines Rasterrechteckes ist .

Eine Diagonale von links unten nach rechts oben hat dann die LŠnge

Eine Diagonale von links oben nach rechts unten im Nachbarrechteck ist eine um 90¡ gedreht und den Faktor  verlŠngerte Kopie der Diagonale von links unten nach rechts oben. Sie hat somit die LŠnge .

Das rote Raster ist also orthogonal, die Schmalseiten messen, wie aus der Figur abgelesen werden kann,  und die Langseiten . Das rote Raster hat also die DIN-VerhŠltnisse. Ein Rasterrechteck hat den FlŠcheninhalt , also einen Drittel des FlŠcheninhalts eines Rechtecks des Ausgangsrasters.

Diese FlŠchendrittelung kann mit einem Zerlegungsbeweis unmittelbar eingesehen werden.

Zerlegungsbeweis

Frage: Was ergibt sich, wenn wir mit Diagonalen gemŠ§ Abbildung arbeiten?

Kleines Raster?

Bearbeitung

FŸr die Schmalseite der neuen Rasterrechtecke ergibt sich . FŸr die Langseite erhalten wir . Das DIN-VerhŠltnis ist erfŸllt. Der FlŠcheninhalt ist . Das blaue Raster bedeutet also flŠchenmŠ§ig eine Reduktion mit dem Faktor . Es gibt auch einen Zerlegungsbeweis.

Zwei Neuntel

Frage: Was ergibt sich, wenn wir mit Diagonalen gemŠ§ Abbildung arbeiten?

Und?

Bearbeitung

GegenŸber dem vorhergehenden Beispiel erhalten wir das Vierfache, also . Somit fast so gro§ wie ein Rechteck im Ausgangsraster.

Frage: Was ergibt sich, wenn wir mit Diagonalen gemŠ§ Abbildung arbeiten?

Und?

Bearbeitung

Die Rechtecke der beiden Raster sind gleich gro§: Im blauen Raster ergibt sich fŸr die Schmalseite eines Rasterrechteckes  uns fŸr die Langseite entsprechend .

Das blaue Raster ergibt sich durch Spiegelung des Ausgangsrasters an einer Rasterdiagonalen.

Spiegelung

Frage: Gibt es andere Spiegelungsmšglichkeiten?

Bearbeitung

Die Abbildung zeigt eine andere mšgliche Spiegelachse. Sie ist rechtwinklig zur obigen Spiegelachse.

Andere Spiegelachse

Das blaue Raster ergibt sich aber auch durch eine Drehung um einen Rasterpunkt um den eingezeichneten Winkel.

Drehung

Dieser Winkel ist . Dieser Winkel lŠsst sich auf verschiedene Arten darstellen:

.

Das kann mit trigonometrischen Umformungen gezeigt werden. Aber wahrscheinlich machen Sie es wie ich, indem Sie mit dem Taschenrechner nachprŸfen. Dieser Winkel ist auch der stumpfe Schnittwinkel der beiden Diagonalen im DIN-Rechteck.

Wir haben oben gesehen, dass die DIN-Raster in Hochformat und in Querformat, die um eine Drehung um 90¡ auseinander hervorgehen, au§er dem Drehpunkt keine weiteren Punkte mehr gemeinsam haben. Bei einer Drehung um den Winkel  ergeben sich aber unendliche viele gemeinsame Punkte.

Frage: Gibt es andere mšgliche Drehwinkel?

Bearbeitung

Wir kšnnen auch um den Winkel  drehen.

Gegendrehung

Die beiden Drehwinkel ergŠnzen sich betragsmŠ§ig auf 180¡.

Wir  haben also vier Abbildungen (zwei Spiegelungen und zwei Drehungen), welche das roten Raster auf das blaue abbilden. Die Abbildungen sind aber unterschiedlich, wie wir aus der jeweiligen Position des blauen Musterrechteckes sehen.

2.1.2     Quadratraster

Beim Quadratraster arbeiten wir zum Halbieren mit den Diagonalen. Die Rasterlinien des alten Rasters sind keine Rasterlinien des neuen Rasters.

FlŠchenmŠ§ige Halbierung

Frage: Was ergibt sich, wenn wir mit schrŠgen Linien von Kantenmitte zu Kantenmitte arbeiten?

Bearbeitung

Wir erhalten denselben Raster, aber versetzt.

FlŠchenmŠ§ige Halbierung

Frage: Was ergibt sich, wenn wir mit schrŠgen Linien gemŠ§ Abbildung arbeiten?

Neuer Raster?

Bearbeitung

Die neuen Quadrate sind flŠchenmŠ§ig  der alten Rasterquadrate. Zerlegungsbeweis.

Zerlegungsbeweis

2.2      Vierteln

Das flŠchenmŠ§ige Vierteln geschieht durch lŠngenmŠ§iges Halbieren. Das ist langweilig.

Vierteln von DIN-Rastern

Vierteln des Quadratrasters

3        Arbeiten im DIN-Raster

3.1      Punktraster

3.1.1     Drehung um einen rechten Winkel

Beim Drehen um einen rechten Winkel werden Hochformat und Querformat vertauscht. Wir haben bereits gesehen, dass wegen der IrrationalitŠt von  au§er dem Drehpunkt kein Rasterpunkt mit einem gedrehten Rasterpunkt Ÿbereinstimmen kann.

Drehen um einen rechten Winkel

Zwar sehen wir am rechten Bildrand in der Mitte zwei fast Ÿbereinstimmende Punkte. Wenn sie Ÿbereinstimmen wŸrden, wŠre , also . Das ist aber nur ein NŠherungswert fŸr .

3.1.2     Drehen um den stumpfen Diagonalenschnittwinkel

Wenn wir um den stumpfen Diagonalenschnittwinkel im DIN-Rechteck, also um den Winkel , drehen, haben die beiden Raster unendlich viele gemeinsame Punkte. Es ergibt sich ein †berlagerungsraster, in der Abbildung schwarz eingezeichnet. Das †berlagerungsraster hat die Spiegelachsen, welche das rote Raster auf das blaue Raster abbilden, als Symmetrieachsen.

Drehen um Diagonalenschnittwinkel

Das †berlagerungsraster bildet seinerseits Rechtecke im DIN-VerhŠltnis. Um das einzusehen, stellen wir die Raster in der Gau§schen Zahlenebene der komplexen Zahlen dar.

Das ursprŸngliche rote Raster besteht aus den Punkten:

Die Zahlen  kšnnen wir als Rasterkoordinaten interpretieren. Dabei ist  die Ÿbliche x-Koordinate im kartesischen Koordinatensystem und  die y-Koordinate.

Die Drehung um den Winkel  kšnnen wir als Multiplikation mit dem komplexen Faktor  darstellen. Dieser Faktor hat nŠmlich den Betrag 1 und das Argument . Aus den roten Rasterpunkten erhalten wir die blauen Rasterpunkte:

Es ist also:

Wegen den Dritteln sind nicht alle blauen Punkte auf roten Rasterpunkten.

Nun fŸhren wir noch eine andere Abbildung ein, nŠmlich eine Drehstreckung mit dem Winkel  (dies ist die HŠlfte des Drehwinkels oben) und dem Streckfaktor . Diese Drehstreckung kšnnen wir als Multiplikation mit dem komplexen Faktor  darstellen. Dieser Faktor hat nŠmlich den Betrag  und das Argument . Aus den roten Rasterpunkten erhalten wir die neuen Rasterpunkte:

Es ist also:

Die Punkte  haben ganzzahlige Rasterkoordinaten, sind also rote Rasterpunkte. Sie bilden ein DIN-Raster mit der Schmalseite  und der Langseite .

Nun noch eine letzte Abbildung, nŠmlich die Drehstreckung mit dem Winkel  und dem Streckfaktor . Das ist die oben beschriebene Drehstreckung, aber mit dem umgekehrten Winkel. Da der Streckfaktor nach wie vor

 ist, handelt es sich aber nicht um die inverse Abbildung der oben beschriebenen Drehstreckung. Diese neue Drehstreckung kšnnen wir als Multiplikation mit dem komplexen Faktor  darstellen. Wir wenden sie auf die blauen Rasterpunkte an. Aus SymmetriegrŸnden (Vergleich mit der Drehstreckung oben) ergeben sich blaue Rasterpunkte. Rechnerisch erhalten wir:

Es ist also:

Die durch  beschriebenen Punkte sind also sowohl rote wie blaue Rasterpunkte, gehšren also dem in der Abbildung schwarz eingezeichneten †berlagerungsraster an. Wir wollen noch zeigen, dass diese Punkte das ganze †berlagerungsraster ausmachen. Dazu mŸssen wir ausschlie§en, dass es noch †berlagerungspunkte gibt, die nicht dem durch  beschriebenen Raster angehšren. Dazu dient ein Abstandsargument. Zwei Punkte des †berlagerungsraster haben einen Minimalabstand  (DiagonalenlŠnge im roten Raster). Da die durch  beschriebenen Punkte DIN-Rechtecke mit der Schmalseite  und der Langseite  bilden, sind in einem solchen Rechteck alle Punkte von mindestens einer Ecke weniger als  entfernt.

Die durch  beschriebenen Punkte sind also das †berlagerungsraster. Uff.

Die Abbildung illustriert die Drehstreckung von rot zu schwarz und die Drehung von rot zu blau.

Drehstreckung und Drehung

Es ergeben sich noch weitere Rechtecke im DIN-VerhŠltnis mit abwechselnd roten und blauen Punkten. Die kleinen haben den FlŠcheninhalt  des FlŠcheninhaltes eines Ausgangsrasterrechtecks, die mittleren sind doppelt so gro§ und die gro§en, das sind die mit einem schwarzen Punkt in der Mitte,  des FlŠcheninhaltes eines roten Ausgangsrasterrechtecks.

Ferner haben wir zwei Typen von  unregelmŠ§igen Sechsecken mit der Eckenfarbfolge schwarz-rot-blau-schwarz-rot-blau beziehungsweise schwarz-blau-rot-schwarz-blau-rot. Die Sechsecke der beiden Typen haben aber denselben FlŠcheninhalt, nŠmlich  des FlŠcheninhaltes eines roten Ausgangsrasterrechtecks.

3.1.3     Drehen um Vielfache des stumpfen Diagonalenschnittwinkels

3.1.3.1   Drehen um den doppelten stumpfen Diagonalenschnittwinkel

Drehen um den doppelten Diagonalenschnittwinkel

Das †berlagerungsraster bildet wieder Rechtecke im DIN-VerhŠltnis. Sie haben die Schmalseite 3 und die Langseite . Der FlŠcheninhalt ist das Neunfache des FlŠcheninhaltes eines Ausgangsrasterrechtecks. Wir erkennen wieder eine Drehstreckung, um das †berlagerungsraster zu finden. Sie hat als Winkel das Doppelte des Winkels der Drehstreckung oben und den Faktor 3. Sie ist somit das Quadrat der Drehstreckung oben und kann durch den Faktor  beschrieben werden.

3.1.3.2   Drehen um das Dreifache des stumpfen Diagonalenschnittwinkels

Drehen um das Dreifache des Diagonalenschnittwinkels

Das †berlagerungsraster bildet, soweit aus der Zeichnung erkennbar, Rechtecke im DIN-VerhŠltnis mit der Schmalseite , der Langseite  und dem FlŠcheninhalt .

3.1.3.3   Allgemein

Wir vermuten, dass wir beim Drehen um das n-Fache des Diagonalenschnittwinkels ein †berlagerungsraster erhalten, dessen RechecksflŠchen das -Fache des FlŠcheninhaltes eines Ausgangsrasterrechtecks ausmachen. Die benštigte Drehsteckung zur Konstruktion des †berlagerungsrasters kann durch  beschrieben werden.

3.2      Linienraster

3.2.1     Folgen von Rechecken

Es werden einige Beispiele und Gegenbeispiele gezeigt, welche im DIN-Raster funktionieren.

Es ist nicht mšglich, eine Folge von aufeinander folgenden A-Rechtecken alle hochkant oder alle im Querformat in dasselbe DIN-Raster zu packen.

Passt nicht in DIN-Raster

Wir mŸssen die Rechtecke alternierend hochkant und im Querformat legen.

Passt in DIN-Raster

Frage: Welcher FlŠchenanteil ist blau?

Bearbeitung

FŸr den blauen FlŠchenanteil b finden wir die geometrische Reihe:

Das ist die schulmŠ§ige Lšsung. Es geht aber einfacher. Die Treppe ist aus Stufenelementen der immer gleichen Form gebaut.

Stufenelement

In jedem Stufenelement ist ein Drittel der FlŠche blau. Also gilt das auch fŸr die gesamte Treppe.

Die Rechtecke kšnnen auch anders in ein DIN-Raster gepackt werden. Wir sehen, dass die gesamte farbige FlŠche dem FlŠcheninhalt eines A3-Rechteckes entspricht.

Andere Packung

Frage: Wo ist der ãBrennpunktÒ?

Bearbeitung

Der ãBrennpunktÒ ist der Schnittpunkt der beiden eingezeichneten Diagonalen.

ãBrennpunktÒ

Die Rechtecke kšnnen zu einem DIN-Turm zusammengesetzt werden. Der Turm passt in ein DIN-Raster.

DIN-Turm

Frage: Wie hoch ist der Turm?

Bearbeitung

Der rot-blaue Sockel macht hšhenmŠ§ig genau die HŠlfte des gesamten Turmes aus. Mit der Basisbreite a des Turmes erhalten wir die Hšhe

Die Turmhšhe ist also drei Mal die Hšhe des roten Sockelteils.

3.2.2     Spiralen

Die folgenden Spiralen sind SonderfŠlle von Folgen von Rechtecken, sozusagen aufgewickelte TŸrme.

Fragen: Welche der folgenden Spiralen passen in ein DIN-Raster?

Spirale 1

Spirale 2

Spirale 3

Antworten

Spirale 1: ok.

Spirale 2: Die Spitzen der rechtwinklig gleichschenkligen Dreiecke sind keine Rasterpunkte.

Spirale 3: ok.

4        Arbeiten im Quadratraster

Frage: Wir kann eine Quadratfolge, deren FlŠchen fortlaufend halbiert sind, in ein Quadratraster gepackt werden?

Bearbeitung

Es muss jedes zweite Quadrat schrŠg gestellt werden.

Quadratfolge

Frage: Welche der folgenden Spiralen passen in ein Quadratraster?

Spirale 1

Spirale 2

Spirale 3

Spirale 4

Spirale 5

Spirale 6

Spirale 7

Spirale 6

Antwort

Alle Spiralen passen in ein Quadratraster.