Hans Walser, [20120608]

DIN-Raster und Quadratraster

1 Die Raster

1.1 DIN-Raster

DIN-Raster gibt es im Hochformat und im Querformat. Es gibt verschiedene Darstellungsarten, als Flächen-, Linien- oder Punktraster.

DIN-Raster als Flächenraster

Linienraster

Ein Linienraster erhalten wir, wenn wir ein A4-Papier mehrfach falten und dann wieder auffalten.

Faltraster

Punktraster

Ein Punktraster ergibt sich auch, wenn wir ein A4-Papier mehrfach falten, dann alle Ecken ein bisschen abschneiden und dann wieder auffalten.

Scherenschnitt

Die Raster im Hochformat und im Querformat sind nicht kompatibel: Wenn wir einen Rasterpunkt des Hochformat-Rasters auf einen Rasterpunkt des Querformat-Rasters legen, gibt es auch bei unendlich ausgedehnten Rastern keine weiteren gemeinsamen Rasterpunkte mehr.

Nur ein Punkt ist in beiden Rastern

Beweis wie üblich in solchen Sachen indirekt: Wir nehmen einen weiteren gemeinsamen Rasterpunkt an. Beim Rechteck mit rasteparallelen Seiten und den beiden gemeinsamen Rasterpunkten als diametrale Ecken sind dann auch die beiden anderen Ecken gemeinsame Rasterpunkte. Die horizontale Seite dieses Rechteckes setzt sich also einerseits aus n kurzen Rasterseiten (der Länge 1) und andererseits aus m langen Rasterseiten (der Länge ) zusammen. Somit haben wir:

Dies steht im Widerspruch zur Irrationalität von .

1.2 Quadratraster

Das Quadratraster kennen alle von der Schule her.

Quadratraster

2 Unterteilen

2.1 Halbieren

2.1.1 DIN-Raster

DIN-Raster können flächenmäßig durch eine Schar von Mittelparallelen halbiert werden. Aus dem Hochformat-Raster wird ein Querformat-Raster und umgekehrt. Die Rasterlinien des alten Rasters sind auch Rasterlinien des neuen Rasters.

Flächenmäßige Halbierung

Frage: Was ergibt sich, wenn wir mit Diagonalen gemäß Abbildung arbeiten? (Anregung: Peter Gallin, Zürich)

Und?

Wer meint, das Bild rechts hänge schief im Satzspiegel, darf über optische Täuschungen nachdenken.

Bearbeitung

Es ergibt sich ein flächenmäßig gedritteltes DIN-Raster.

Zum Nachweis setzen wir die Schmalseite des Ausgangsraster 1, die Langseite ist . Der Flächeninhalt eines Rasterrechteckes ist .

Eine Diagonale von links unten nach rechts oben hat dann die Länge

Eine Diagonale von links oben nach rechts unten im Nachbarrechteck ist eine um 90° gedreht und den Faktor verlängerte Kopie der Diagonale von links unten nach rechts oben. Sie hat somit die Länge .

Das rote Raster ist also orthogonal, die Schmalseiten messen, wie aus der Figur abgelesen werden kann, und die Langseiten . Das rote Raster hat also die DIN-Verhältnisse. Ein Rasterrechteck hat den Flächeninhalt , also einen Drittel des Flächeninhalts eines Rechtecks des Ausgangsrasters.

Diese Flächendrittelung kann mit einem Zerlegungsbeweis unmittelbar eingesehen werden.

Zerlegungsbeweis

Frage: Was ergibt sich, wenn wir mit Diagonalen gemäß Abbildung arbeiten?

Kleines Raster?

Bearbeitung

Für die Schmalseite der neuen Rasterrechtecke ergibt sich . Für die Langseite erhalten wir . Das DIN-Verhältnis ist erfüllt. Der Flächeninhalt ist . Das blaue Raster bedeutet also flächenmäßig eine Reduktion mit dem Faktor . Es gibt auch einen Zerlegungsbeweis.

Zwei Neuntel

Frage: Was ergibt sich, wenn wir mit Diagonalen gemäß Abbildung arbeiten?

Und?

Bearbeitung

Gegenüber dem vorhergehenden Beispiel erhalten wir das Vierfache, also . Somit fast so groß wie ein Rechteck im Ausgangsraster.

Frage: Was ergibt sich, wenn wir mit Diagonalen gemäß Abbildung arbeiten?

Und?

Bearbeitung

Die Rechtecke der beiden Raster sind gleich groß: Im blauen Raster ergibt sich für die Schmalseite eines Rasterrechteckes uns für die Langseite entsprechend .

Das blaue Raster ergibt sich durch Spiegelung des Ausgangsrasters an einer Rasterdiagonalen.

Spiegelung

Frage: Gibt es andere Spiegelungsmöglichkeiten?

Bearbeitung

Die Abbildung zeigt eine andere mögliche Spiegelachse. Sie ist rechtwinklig zur obigen Spiegelachse.

Andere Spiegelachse

Das blaue Raster ergibt sich aber auch durch eine Drehung um einen Rasterpunkt um den eingezeichneten Winkel.

Drehung

Dieser Winkel ist . Dieser Winkel lässt sich auf verschiedene Arten darstellen:

Das kann mit trigonometrischen Umformungen gezeigt werden. Aber wahrscheinlich machen Sie es wie ich, indem Sie mit dem Taschenrechner nachprüfen. Dieser Winkel ist auch der stumpfe Schnittwinkel der beiden Diagonalen im DIN-Rechteck.

Wir haben oben gesehen, dass die DIN-Raster in Hochformat und in Querformat, die um eine Drehung um 90° auseinander hervorgehen, außer dem Drehpunkt keine weiteren Punkte mehr gemeinsam haben. Bei einer Drehung um den Winkel ergeben sich aber unendliche viele gemeinsame Punkte.

Frage: Gibt es andere mögliche Drehwinkel?

Bearbeitung

Wir können auch um den Winkel drehen.

Gegendrehung

Die beiden Drehwinkel ergänzen sich betragsmäßig auf 180°.

Wir haben also vier Abbildungen (zwei Spiegelungen und zwei Drehungen), welche das roten Raster auf das blaue abbilden. Die Abbildungen sind aber unterschiedlich, wie wir aus der jeweiligen Position des blauen Musterrechteckes sehen.

2.1.2 Quadratraster

Beim Quadratraster arbeiten wir zum Halbieren mit den Diagonalen. Die Rasterlinien des alten Rasters sind keine Rasterlinien des neuen Rasters.

Flächenmäßige Halbierung

Frage: Was ergibt sich, wenn wir mit schrägen Linien von Kantenmitte zu Kantenmitte arbeiten?

Bearbeitung

Wir erhalten denselben Raster, aber versetzt.

Flächenmäßige Halbierung

Frage: Was ergibt sich, wenn wir mit schrägen Linien gemäß Abbildung arbeiten?

Neuer Raster?

Bearbeitung

Die neuen Quadrate sind flächenmäßig der alten Rasterquadrate. Zerlegungsbeweis.

Zerlegungsbeweis

2.2 Vierteln

Das flächenmäßige Vierteln geschieht durch längenmäßiges Halbieren. Das ist langweilig.

Vierteln von DIN-Rastern

Vierteln des Quadratrasters

3 Arbeiten im DIN-Raster

3.1 Punktraster

3.1.1 Drehung um einen rechten Winkel

Beim Drehen um einen rechten Winkel werden Hochformat und Querformat vertauscht. Wir haben bereits gesehen, dass wegen der Irrationalität von außer dem Drehpunkt kein Rasterpunkt mit einem gedrehten Rasterpunkt übereinstimmen kann.

Drehen um einen rechten Winkel

Zwar sehen wir am rechten Bildrand in der Mitte zwei fast übereinstimmende Punkte. Wenn sie übereinstimmen würden, wäre , also . Das ist aber nur ein Näherungswert für .

3.1.2 Drehen um den stumpfen Diagonalenschnittwinkel

Wenn wir um den stumpfen Diagonalenschnittwinkel im DIN-Rechteck, also um den Winkel , drehen, haben die beiden Raster unendlich viele gemeinsame Punkte. Es ergibt sich ein Überlagerungsraster, in der Abbildung schwarz eingezeichnet. Das Überlagerungsraster hat die Spiegelachsen, welche das rote Raster auf das blaue Raster abbilden, als Symmetrieachsen.

Drehen um Diagonalenschnittwinkel

Das Überlagerungsraster bildet seinerseits Rechtecke im DIN-Verhältnis. Um das einzusehen, stellen wir die Raster in der Gaußschen Zahlenebene der komplexen Zahlen dar.

Das ursprüngliche rote Raster besteht aus den Punkten:

Die Zahlen können wir als Rasterkoordinaten interpretieren. Dabei ist die übliche x-Koordinate im kartesischen Koordinatensystem und die y-Koordinate.

Die Drehung um den Winkel können wir als Multiplikation mit dem komplexen Faktor darstellen. Dieser Faktor hat nämlich den Betrag 1 und das Argument . Aus den roten Rasterpunkten erhalten wir die blauen Rasterpunkte:

Es ist also:

Wegen den Dritteln sind nicht alle blauen Punkte auf roten Rasterpunkten.

Nun führen wir noch eine andere Abbildung ein, nämlich eine Drehstreckung mit dem Winkel (dies ist die Hälfte des Drehwinkels oben) und dem Streckfaktor . Diese Drehstreckung können wir als Multiplikation mit dem komplexen Faktor darstellen. Dieser Faktor hat nämlich den Betrag und das Argument . Aus den roten Rasterpunkten erhalten wir die neuen Rasterpunkte:

Es ist also:

Die Punkte haben ganzzahlige Rasterkoordinaten, sind also rote Rasterpunkte. Sie bilden ein DIN-Raster mit der Schmalseite und der Langseite .

Nun noch eine letzte Abbildung, nämlich die Drehstreckung mit dem Winkel und dem Streckfaktor . Das ist die oben beschriebene Drehstreckung, aber mit dem umgekehrten Winkel. Da der Streckfaktor nach wie vor

ist, handelt es sich aber nicht um die inverse Abbildung der oben beschriebenen Drehstreckung. Diese neue Drehstreckung können wir als Multiplikation mit dem komplexen Faktor darstellen. Wir wenden sie auf die blauen Rasterpunkte an. Aus Symmetriegründen (Vergleich mit der Drehstreckung oben) ergeben sich blaue Rasterpunkte. Rechnerisch erhalten wir:

Es ist also:

Die durch beschriebenen Punkte sind also sowohl rote wie blaue Rasterpunkte, gehören also dem in der Abbildung schwarz eingezeichneten Überlagerungsraster an. Wir wollen noch zeigen, dass diese Punkte das ganze Überlagerungsraster ausmachen. Dazu müssen wir ausschließen, dass es noch Überlagerungspunkte gibt, die nicht dem durch beschriebenen Raster angehören. Dazu dient ein Abstandsargument. Zwei Punkte des Überlagerungsraster haben einen Minimalabstand (Diagonalenlänge im roten Raster). Da die durch beschriebenen Punkte DIN-Rechtecke mit der Schmalseite und der Langseite bilden, sind in einem solchen Rechteck alle Punkte von mindestens einer Ecke weniger als entfernt.

Die durch beschriebenen Punkte sind also das Überlagerungsraster. Uff.

Die Abbildung illustriert die Drehstreckung von rot zu schwarz und die Drehung von rot zu blau.

Drehstreckung und Drehung

Es ergeben sich noch weitere Rechtecke im DIN-Verhältnis mit abwechselnd roten und blauen Punkten. Die kleinen haben den Flächeninhalt des Flächeninhaltes eines Ausgangsrasterrechtecks, die mittleren sind doppelt so groß und die großen, das sind die mit einem schwarzen Punkt in der Mitte, des Flächeninhaltes eines roten Ausgangsrasterrechtecks.

Ferner haben wir zwei Typen von unregelmäßigen Sechsecken mit der Eckenfarbfolge schwarz-rot-blau-schwarz-rot-blau beziehungsweise schwarz-blau-rot-schwarz-blau-rot. Die Sechsecke der beiden Typen haben aber denselben Flächeninhalt, nämlich des Flächeninhaltes eines roten Ausgangsrasterrechtecks.

3.1.3 Drehen um Vielfache des stumpfen Diagonalenschnittwinkels

3.1.3.1 Drehen um den doppelten stumpfen Diagonalenschnittwinkel

Drehen um den doppelten Diagonalenschnittwinkel

Das Überlagerungsraster bildet wieder Rechtecke im DIN-Verhältnis. Sie haben die Schmalseite 3 und die Langseite . Der Flächeninhalt ist das Neunfache des Flächeninhaltes eines Ausgangsrasterrechtecks. Wir erkennen wieder eine Drehstreckung, um das Überlagerungsraster zu finden. Sie hat als Winkel das Doppelte des Winkels der Drehstreckung oben und den Faktor 3. Sie ist somit das Quadrat der Drehstreckung oben und kann durch den Faktor beschrieben werden.

3.1.3.2 Drehen um das Dreifache des stumpfen Diagonalenschnittwinkels

Drehen um das Dreifache des Diagonalenschnittwinkels

Das Überlagerungsraster bildet, soweit aus der Zeichnung erkennbar, Rechtecke im DIN-Verhältnis mit der Schmalseite , der Langseite und dem Flächeninhalt .

3.1.3.3 Allgemein

Wir vermuten, dass wir beim Drehen um das n-Fache des Diagonalenschnittwinkels ein Überlagerungsraster erhalten, dessen Rechecksflächen das -Fache des Flächeninhaltes eines Ausgangsrasterrechtecks ausmachen. Die benötigte Drehsteckung zur Konstruktion des Überlagerungsrasters kann durch beschrieben werden.

3.2 Linienraster

3.2.1 Folgen von Rechecken

Es werden einige Beispiele und Gegenbeispiele gezeigt, welche im DIN-Raster funktionieren.

Es ist nicht möglich, eine Folge von aufeinander folgenden A-Rechtecken alle hochkant oder alle im Querformat in dasselbe DIN-Raster zu packen.

Passt nicht in DIN-Raster

Wir müssen die Rechtecke alternierend hochkant und im Querformat legen.

Passt in DIN-Raster

Frage: Welcher Flächenanteil ist blau?

Bearbeitung

Für den blauen Flächenanteil b finden wir die geometrische Reihe:

Das ist die schulmäßige Lösung. Es geht aber einfacher. Die Treppe ist aus Stufenelementen der immer gleichen Form gebaut.

Stufenelement

In jedem Stufenelement ist ein Drittel der Fläche blau. Also gilt das auch für die gesamte Treppe.

Die Rechtecke können auch anders in ein DIN-Raster gepackt werden. Wir sehen, dass die gesamte farbige Fläche dem Flächeninhalt eines A3-Rechteckes entspricht.