Hans Walser, [20130725], [20130728]

DIN, Dreieck und Sechseck

Anregung: H. K. S., L.

1        Im DIN-Raster

In einen DIN-Raster zeichnen wir ein regelmŠ§iges Dreieck und ein regelmŠ§iges Sechseck gemŠ§ Abbildung 1.

 

Abb. 1: Im DIN-Raster

 

Das Dreieck und das Sechseck sind flŠchengleich.

2        Rechnerischer Beweis

Ein regelmŠ§iges Dreieck mit dem Umkreisradius 2 und ein regelmŠ§iges Sechseck mit dem Umkreisradius  haben beide den FlŠcheninhalt .

3        Zerlegungsgleichheit

Die Abbildungen 2 und 3 zeigen eine Zerlegungsgleichheit in zwei Schritten.

Erster Schritt: Umformung der Šu§eren Dreiecke und Trapeze in Parallelogramme.

 

Abb. 2: Parallelogramme

 

Zweiter Schritt: Gemeinsame Zerlegungen der Parallelogramme.

 

Abb.3: Zerlegung

 

4        Faltgeometrie

Ausgehend von je einem DIN A4-Papier kšnnen wir das rote Dreieck und das blaue Sechseck auch mit Faltgeometrie herstellen. ZunŠchst falten wir den Raster (Abb. 4). Die PrŠzision wir grš§er, wenn wir nicht zu viele Papierlagen Ÿbereinander falten.

 

Abb. 4: Falten des Rasters

 

FŸr das Dreieck falten wir nun von links her ein gemŠ§ Abbildung 5.

 

Abb. 5: Erster Faltschritt fŸr das Dreieck

 

Dieser Schritt ist entscheidend. Es entsteht oben in der Blattmitte ein Winkel von 60¡. Wir kšnnen und von rechts her auch einfalten und schlie§lich von unten her auf die unterste Faltlinie einfalten. Vorstehende Teile verstauen wir. Die Abbildung 6 zeigt das Faltdreieck.

 

Abb. 6: Faltdreieck

 

FŸr das Sechseck falten wir zunŠchst auf das Viertel rechts unten und fŸgen eine zusŠtzliche Faltlinie ein (Abb. 7).

 

Abb. 7: Vorbereitung fŸr das Sechseck

 

Nun geht es im Prinzip weiter wie in der Abbildung 5 mit dem Dreieck (Abb. 8). Pedanten mšgen nachprŸfen, ob die grau-wei§-FŠrbung des DIN-Rasters korrekt wiedergegeben ist. Eine schšne †bung im rŠumlichen Vorstellungsvermšgen.

 

Abb. 8: Zwischenschritt fŸr das Sechseck

 

VollstŠndiges Auffalten liefert die Figur der Abbildung 9.

 

Abb. 9: Auffalten

 

Es fehlen noch der obere und der untere Abschluss des Sechseckes. Dazu falten wir zunŠchst die Mittelparallelen der schrŠgen Faltlinien (Abb. 10). Der Rest ist dann klar.

 

Abb. 10: Kontur des Sechsecks

 

Die Abbildung 11 zeigt das Faltsechseck.

 

Abb. 11: Faltsechseck

 

Das Dreieck und das Sechseck (Abb. 12) sind flŠchengleich.

 

Abb. 12: FlŠchengleiche Figuren