Hans Walser, [20160205]
Delta-Bogenvielecke
Anregung: Renato Pandi
Delta-Kurven sind geschlossene Kurven, welche in einem gleichseitigen Dreieck bei Drehungen einen Zwangslauf machen, indem immer alle drei Seiten des Dreiecks von der Delta-Kurve berŸhrt werden.
Abb. 1: Die Welt in der wir leben
Es werden regelmŠ§ige Bogenvielecke vorgestellt, welche als Deltakurven funktionieren. Beweise fehlen weitgehend.
ZunŠchst Beispiele.
Abb. 2a: Zweieck
Abb. 2b: Zweieck
Abb. 3a: Das kannÕs wohl nicht sein
Abb. 3b: Auch das geht nicht
Abb. 4a: Viereck
Abb. 4b: Viereck
Abb. 5a: FŸnfeck
Abb. 5b: FŸnfeck
Abb. 6a: Sechseck geht nicht
Abb. 6b: Sechseck geht nicht
Abb. 7a: Siebeneck
Abb. 7b: Siebeneck
Abb. 8a: Achteck
Abb. 8b: Achteck
Abb. 9a: Neuneck geht nicht
Abb. 9b: Neuneck geht knapp nicht
Vermutung: Vielecke mit Eckenzahl gehen nicht, die anderen schon.
Wir beschreiben die Konstruktion der Bogen-n-Ecke. Die Zeichnungen sind exemplarisch fŸr n = 5. Mit h bezeichnen wir die Hšhe des Dreieckes.
Wir zeichnen einen Bogen mit dem Radius h und dem Zentriwinkel . FŸr n = 5 sind das 24¡ (Abb. 10).
Anschlie§end fŸgen wir n = 5 solche Bšgen je um (in unserem Beispiel also 72¡) gedreht aneinander und malen mit roter Farbe aus.
Abb. 10: Bogen und BogenfŸnfeck
Wir berechnen nun den Radius des Au§enkreises (Umkreises) des BogenfŸnfeckes und den Radius des Innenkreises Abb. 11).
Abb. 11: Au§enkreis und Innenkreis
FŸr den Radius des Au§enkreises finden wir:
(1)
Die Tabelle 1 zeigt die ersten numerischen Werte des Koeffizienten von h.
n |
Koeffizient |
|
n |
Koeffizient |
|
|
|
11 |
0.3373981493 |
2 |
0.5000000000 |
|
12 |
0.3367439314 |
3 |
0.3949308438 |
|
13 |
0.3362361129 |
4 |
0.3660254037 |
|
14 |
0.3358339921 |
5 |
0.3537204958 |
|
15 |
0.3355101074 |
6 |
0.3472963554 |
|
16 |
0.3352453803 |
7 |
0.3435073793 |
|
17 |
0.3350262186 |
8 |
0.3410813772 |
|
18 |
0.3348427245 |
9 |
0.3394329734 |
|
19 |
0.3346875512 |
10 |
0.3382612125 |
|
20 |
0.3345551521 |
Tab. 1: Koeffizienten fŸr Au§enradius
Die Werte streben zwar gegen sind aber alle grš§er als (Beweis sei dem Leser Ÿberlassen). Somit sind die Werte grš§er als der Inkreisradius des Dreieckes. Daraus folgt aus SymmetriegrŸnden, dass ein Bogen-n-Eck mit nicht passen kann (Abb. 12 links fŸr n = 6).
Abb. 12: Zu gro§ und zu klein
FŸr den Radius des Innenkreises finden wir:
(2)
Die Tabelle 2 zeigt die ersten numerischen Werte der Koeffizienten von h.
n |
Koeffizient |
|
n |
Koeffizient |
|
|
|
11 |
0.319203076 |
|
|
|
12 |
0.321464358 |
3 |
0.137158043 |
|
13 |
0.323223011 |
4 |
0.224744871 |
|
14 |
0.324617730 |
5 |
0.264313493 |
|
15 |
0.325742457 |
6 |
0.285575220 |
|
16 |
0.326662658 |
7 |
0.298320281 |
|
17 |
0.327425089 |
8 |
0.306562965 |
|
18 |
0.328063870 |
9 |
0.312201018 |
|
19 |
0.328604366 |
10 |
0.316227426 |
|
20 |
0.329065758 |
Tab. 2: Koeffizienten fŸr Innenradius
Die Werte streben zwar gegen sind aber alle kleiner als (Beweis ?). Daraus folgt aus SymmetriegrŸnden erneut, dass ein Bogen-n-Eck mit nicht passen kann (Abb. 12 rechts).
Wir zeichnen einen Bogen mit dem Radius und dem Zentriwinkel . FŸr n = 5 sind das 48¡ (Abb. 13).
Anschlie§end fŸgen wir n = 5 solche Bšgen je um (in unserem Beispiel also 72¡) gedreht aneinander und malen mit roter Farbe aus.
Abb. 13: Bogen und BogenfŸnfeck
FŸr den Radius des Au§enkreises finden wir:
(3)
Die Tabelle 3 zeigt die ersten numerischen Werte des Koeffizienten von h.
n |
Koeffizient |
|
n |
Koeffizient |
|
|
|
11 |
0.3358703844 |
2 |
0.4330127020 |
|
12 |
0.3354625190 |
3 |
0.3711135996 |
|
13 |
0.3351458028 |
4 |
0.3535533905 |
|
14 |
0.3348949322 |
5 |
0.3459908541 |
|
15 |
0.3346928218 |
6 |
0.3420201433 |
|
16 |
0.3345275942 |
7 |
0.3396706857 |
|
17 |
0.3343907840 |
8 |
0.3381633788 |
|
18 |
0.3342762238 |
9 |
0.3371378489 |
|
19 |
0.3341793336 |
10 |
0.3364081825 |
|
20 |
0.3340966556 |
Tab. 3: Koeffizienten fŸr Au§enradius
Die Werte streben zwar gegen sind aber alle grš§er als (Beweis sei dem Leser Ÿberlassen). Somit sind die Werte grš§er als der Inkreisradius des Dreieckes. Daraus folgt aus SymmetriegrŸnden, dass ein Bogen-n-Eck mit nicht passen kann (Abb. 14 links fŸr n = 6).
Abb. 14: Zu gro§ und zu klein
FŸr den Radius des Innenkreises finden wir:
(4)
Die Tabelle 4 zeigt die ersten numerischen Werte der Koeffizienten von h.
n |
Koeffizient |
|
n |
Koeffizient |
|
|
|
11 |
0.3245293127 |
|
|
|
12 |
0.3259345620 |
3 |
0.2157104895 |
|
13 |
0.3270284208 |
4 |
0.2670370868 |
|
14 |
0.3278965185 |
5 |
0.2908386804 |
|
15 |
0.3285969554 |
6 |
0.3037942563 |
|
16 |
0.3291702788 |
7 |
0.3116173001 |
|
17 |
0.3296454810 |
8 |
0.3166997937 |
|
18 |
0.3300437376 |
9 |
0.3201867700 |
|
19 |
0.3303808049 |
10 |
0.3226822463 |
|
20 |
0.3306686041 |
Tab. 4: Koeffizienten fŸr Innenradius
Die Werte streben zwar gegen sind aber alle kleiner als (Beweis ?). Daraus folgt aus SymmetriegrŸnden erneut, dass ein Bogen-n-Eck mit nicht passen kann (Abb. 14 rechts).
Damit haben wir bewiesen, dass Vielecke mit Eckenzahl nicht gehen. Dass es mit Vielecken anderer Eckenzahlen immer geht, ist nicht bewiesen.