Hans Walser, [20160205]
Delta-Bogenvielecke
Anregung: Renato Pandi
Delta-Kurven sind geschlossene Kurven, welche in einem gleichseitigen Dreieck bei Drehungen einen Zwangslauf machen, indem immer alle drei Seiten des Dreiecks von der Delta-Kurve berŸhrt werden.
Abb. 1: Die Welt in der wir leben
Es werden regelmŠ§ige Bogenvielecke vorgestellt, welche als Deltakurven funktionieren. Beweise fehlen weitgehend.
ZunŠchst Beispiele.
Abb. 2a: Zweieck
Abb. 2b: Zweieck
Abb. 3a: Das kannÕs wohl nicht sein
Abb. 3b: Auch das geht nicht
Abb. 4a: Viereck
Abb. 4b: Viereck
Abb. 5a: FŸnfeck
Abb. 5b: FŸnfeck
Abb. 6a: Sechseck geht nicht
Abb. 6b: Sechseck geht nicht
Abb. 7a: Siebeneck
Abb. 7b: Siebeneck
Abb. 8a: Achteck
Abb. 8b: Achteck
Abb. 9a: Neuneck geht nicht
Abb. 9b: Neuneck geht knapp nicht
Vermutung:
Vielecke mit Eckenzahl gehen
nicht, die anderen schon.
Wir beschreiben die Konstruktion der Bogen-n-Ecke. Die Zeichnungen sind exemplarisch fŸr n = 5. Mit h bezeichnen wir die Hšhe des Dreieckes.
Wir
zeichnen einen Bogen mit dem Radius h
und dem Zentriwinkel . FŸr n = 5
sind das 24¡ (Abb. 10).
Anschlie§end
fŸgen wir n = 5 solche Bšgen je um (in
unserem Beispiel also 72¡) gedreht aneinander und malen mit roter Farbe aus.
Abb. 10: Bogen und BogenfŸnfeck
Wir
berechnen nun den Radius des
Au§enkreises (Umkreises) des BogenfŸnfeckes und den Radius
des Innenkreises
Abb. 11).
Abb. 11: Au§enkreis und Innenkreis
FŸr den
Radius des
Au§enkreises finden wir:
(1)
Die Tabelle 1 zeigt die ersten numerischen Werte des Koeffizienten von h.
n |
Koeffizient |
|
n |
Koeffizient |
|
|
|
11 |
0.3373981493 |
2 |
0.5000000000 |
|
12 |
0.3367439314 |
3 |
0.3949308438 |
|
13 |
0.3362361129 |
4 |
0.3660254037 |
|
14 |
0.3358339921 |
5 |
0.3537204958 |
|
15 |
0.3355101074 |
6 |
0.3472963554 |
|
16 |
0.3352453803 |
7 |
0.3435073793 |
|
17 |
0.3350262186 |
8 |
0.3410813772 |
|
18 |
0.3348427245 |
9 |
0.3394329734 |
|
19 |
0.3346875512 |
10 |
0.3382612125 |
|
20 |
0.3345551521 |
Tab. 1: Koeffizienten fŸr Au§enradius
Die Werte
streben zwar gegen sind aber
alle grš§er als
(Beweis
sei dem Leser Ÿberlassen). Somit sind die Werte grš§er als der Inkreisradius
des Dreieckes. Daraus folgt aus SymmetriegrŸnden, dass ein Bogen-n-Eck mit
nicht
passen kann (Abb. 12 links fŸr n =
6).
Abb. 12: Zu gro§ und zu klein
FŸr den
Radius des
Innenkreises finden wir:
(2)
Die Tabelle 2 zeigt die ersten numerischen Werte der Koeffizienten von h.
n |
Koeffizient |
|
n |
Koeffizient |
|
|
|
11 |
0.319203076 |
|
|
|
12 |
0.321464358 |
3 |
0.137158043 |
|
13 |
0.323223011 |
4 |
0.224744871 |
|
14 |
0.324617730 |
5 |
0.264313493 |
|
15 |
0.325742457 |
6 |
0.285575220 |
|
16 |
0.326662658 |
7 |
0.298320281 |
|
17 |
0.327425089 |
8 |
0.306562965 |
|
18 |
0.328063870 |
9 |
0.312201018 |
|
19 |
0.328604366 |
10 |
0.316227426 |
|
20 |
0.329065758 |
Tab. 2: Koeffizienten fŸr Innenradius
Die Werte
streben zwar gegen sind aber
alle kleiner als
(Beweis ?).
Daraus folgt aus SymmetriegrŸnden erneut, dass ein Bogen-n-Eck mit
nicht
passen kann (Abb. 12 rechts).
Wir zeichnen
einen Bogen mit dem Radius und dem
Zentriwinkel
. FŸr n = 5
sind das 48¡ (Abb. 13).
Anschlie§end
fŸgen wir n = 5 solche Bšgen je um (in
unserem Beispiel also 72¡) gedreht aneinander und malen mit roter Farbe aus.
Abb. 13: Bogen und BogenfŸnfeck
FŸr den
Radius des
Au§enkreises finden wir:
(3)
Die Tabelle 3 zeigt die ersten numerischen Werte des Koeffizienten von h.
n |
Koeffizient |
|
n |
Koeffizient |
|
|
|
11 |
0.3358703844 |
2 |
0.4330127020 |
|
12 |
0.3354625190 |
3 |
0.3711135996 |
|
13 |
0.3351458028 |
4 |
0.3535533905 |
|
14 |
0.3348949322 |
5 |
0.3459908541 |
|
15 |
0.3346928218 |
6 |
0.3420201433 |
|
16 |
0.3345275942 |
7 |
0.3396706857 |
|
17 |
0.3343907840 |
8 |
0.3381633788 |
|
18 |
0.3342762238 |
9 |
0.3371378489 |
|
19 |
0.3341793336 |
10 |
0.3364081825 |
|
20 |
0.3340966556 |
Tab. 3: Koeffizienten fŸr Au§enradius
Die Werte
streben zwar gegen sind aber
alle grš§er als
(Beweis
sei dem Leser Ÿberlassen). Somit sind die Werte grš§er als der Inkreisradius
des Dreieckes. Daraus folgt aus SymmetriegrŸnden, dass ein Bogen-n-Eck mit
nicht
passen kann (Abb. 14 links fŸr n =
6).
Abb. 14: Zu gro§ und zu klein
FŸr den
Radius des
Innenkreises finden wir:
(4)
Die Tabelle 4 zeigt die ersten numerischen Werte der Koeffizienten von h.
n |
Koeffizient |
|
n |
Koeffizient |
|
|
|
11 |
0.3245293127 |
|
|
|
12 |
0.3259345620 |
3 |
0.2157104895 |
|
13 |
0.3270284208 |
4 |
0.2670370868 |
|
14 |
0.3278965185 |
5 |
0.2908386804 |
|
15 |
0.3285969554 |
6 |
0.3037942563 |
|
16 |
0.3291702788 |
7 |
0.3116173001 |
|
17 |
0.3296454810 |
8 |
0.3166997937 |
|
18 |
0.3300437376 |
9 |
0.3201867700 |
|
19 |
0.3303808049 |
10 |
0.3226822463 |
|
20 |
0.3306686041 |
Tab. 4: Koeffizienten fŸr Innenradius
Die Werte
streben zwar gegen sind aber
alle kleiner als
(Beweis
?). Daraus folgt aus SymmetriegrŸnden erneut, dass ein Bogen-n-Eck mit
nicht
passen kann (Abb. 14 rechts).
Damit
haben wir bewiesen, dass Vielecke mit Eckenzahl nicht
gehen. Dass es mit Vielecken anderer Eckenzahlen immer geht, ist nicht
bewiesen.