Hans Walser, [20260712]
Deltoidalikositetraeder
Anregung: Willfried Dutkowski, Bonn
1 Worum es geht
Übergang vom Würfel zum Oktaeder durch Drehen von Ebenen um die Kuboktaederkanten
Deltoidalikositetraeder als Zwischenstationen
Inkugeln und Umkugel
Sternfiguren
2 Konstruktion
2.1 Kuboktaeder
Die zwölf Punkte mit den Koordinaten [±1, ±1, 0], [±1, 0, ±1], [0, ±1, ±1] sind die Ecken eines Koboktaeders (Abb. 1). Das Kuboktaeder hat 24 Kanten.
Abb. 1: Kuboktaeder
2.2 Oktaeder
Die sechs Punkte mit den Koordinaten [±t, 0, 0], [0, ±t, 0], [0, 0, ±t] sind die Ecken eines Oktaeders (Abb. 2 für t = 3/2).
Abb. 2: Oktaeder
2.3 Würfel
Wir definieren s = t/(2t – 1).
Die acht Punkte mit den Koordinaten [±s, ±s, ±s] sind die Ecken eines Würfels (Abb. 3 wiederum für t = 3/2, also entsprechend für s = ¾).
Abb. 3: Würfel
Die Abbildung 4 zeigt konzentrisch alle drei Körper.
Abb. 4: Alle drei Körper
Die Figur hat insgesamt 26 nach außen gerichtete Ecken.
2.4 Konvexe Hülle
Wir konstruieren die konvexe Hülle der Figur (Abb. 5). Über jeder Quadratseite des Kuboktaeders entsteht eine Vierseitpyramide mit der Spitze in einer Ecke des Oktaeders. Über jeder Dreiecksseite des Kuboktaeders entsteht eine Dreiseitpyramide mit der Spitze in einer Ecke des Würfels.
Abb. 5: Konvexe Hülle: Ausgangslage, Prozess, Endsituation
2.5 Deltoidalikositetraeder
Nun ist es so, dass eine Dreiecksseite der Vierseitpyramide und die anschließende Dreieckseite der Dreiseitpyramide in einer Ebene liegen, also glatt ineinander übergehen (Abb. 6). Die beiden Dreiecksseiten bilden zusammen ein ebenes Drachenviereck (Deltoid). Zu jeder der 24 Kuboktaederkanten gehört ein solches Drachenviereck. Die Kuboktaederkante ist diejenige Diagonale des Drachenvierecks, welche zur Symmetrieachse senkrecht steht.
Abb. 6: Deltoidalikositetraeder
Die konvexe Hülle besteht also aus 24 Drachenvierecken. Daher der Name Deltoidalikositetraeder. Deltoid = Drachenviereck, ikositetra = 24, eder = Seite.
3 Variation des Parameters
In den bisherigen Beispielen wurde t = 3/2 und entsprechend s = ¾ gewählt. Wir variieren nun den Parameter t und entsprechend den Parameter s = t/(2t – 1). Für den Parameterbereich t ∈ [1 .. 2] ergibt sich ein Übergang von einem Würfel zum dualen Oktaeder (Abb. 7). Der Würfel hat die Kantenlänge 2, das Oktaeder die Kantenlänge 2√2.
Die Drachenvierecke werden um die Querdiagonale, also die Kanten des ursprünglichen Kuboktaeders, gedreht. Die Drachenvierecke verändern dabei ihre Form.
Abb. 7: Variation des Parameters
4 Sonderfälle
4.1 Würfel und Oktaeder
Für t = 1 erhalten wir den Würfel, für t = 2 das Oktaeder.
4.2 Inkugel
Das Deltoidalikositetraeder hat in jedem Fall eine Inkugel (Abb. 8).
Abb. 8: Inkugel
Der Inkugelradius r hängt vom Parameter t ab, es ist:
r = t/√(2t2 – 4t + 3)
Die größte Inkugel ergibt sich für t = 3/2 (Abb. 9). Diese Kugel ist auch die Kantenmittenkugel des Kuboktaeders. (Die Farbveränderung von blau zu magenta ist eine Folge der weggelassenen darüberliegenden Drachenvierecke, welche in transparentem zyan gezeichnet sind.
Abb. 9: Größte Inkugel
4.3 Umkugel
Genau für t = √2 hat das Deltoidalikositetraeder eine Umkugel, welche durch alle 26 Ecken verläuft (Abb. 10).
Abb. 10: Sonderfall mit Umkugel
Dieser Sonderfall wird gelegentlich als regelmäßiges Deltoidalikositetraeder bezeichnet.
4.4 Oberfläche
Beim Drehen der Drachenvierecke bleibt die Querdiagonale invariant. Für die Flächenveränderung ist daher die Länge der Symmetrieachse der Drachenvierecke relevant.
Für die Gesamtoberfläche S(t) des Deltoidalikositetraeders gilt (Abb. 11):
Abb. 11: Oberfläche
Beispiele:
Für t = 1 (Würfel der Kantenlänge 2) ergibt sich S(1) = 24.
Für t = 2 (Oktaeder der Kantenlänge 2√2) ergibt sich S(2) = 16√3 ≈ 27.71281293.
Mit einiger Rechnung erhält man die minimale Oberfläche des Deltoidalikositetraeder für den Parameterwert tmin:
Die zugehörige Oberfläche ist S(tmin) ≈ 21.17869110 (Abb. 12).
Abb. 12: Minimale Oberfläche
5 Sterne
Wenn wir überdrehen, also Parameterwerte < 1 oder > 2 wählen, erhalten wir nicht konvexe sternartige Figuren mit acht beziehungsweise sechs Spitzen (Abb. 13 für t ∈ [0.7 .. 2.8]).
Abb. 13: Sterne