Hans Walser, [20170616]
Diagonalenschnittwinkel
Unter welchen Winkeln scheiden sich die Mittelpunktsdiagonalen in einem n-d-HyperwŸrfels?
Die beiden Diagonalen eines Quadrates sind orthogonal.
Die vier
Raumdiagonalen eines WŸrfels (Abb. 1) schneiden sich paarweise unter dem
spitzen Winkel :
(1)
Abb. 1: Raumdiagonalen des WŸrfels
Spannend wird es im 4d-Raum. Die acht Mittelpunktsdiagonalen haben die Richtungsvektoren:
(2)
Damit wird zum Beispiel:
(3)
(4)
(5)
Der spitze Winkel bei (5) ist also 60¡.
Im 4d-HyperwŸrfel kommen also zwei verschiedene Schnittwinkel vor.
Die
Komponenten der Vektoren und
unterscheiden sich an genau einer Stelle.
Geometrisch hei§t das, dass die zugehšrigen Eckpunkte des 4d-HyperwŸrfels durch
genau eine Kante verbunden sind. Sie haben die Hamming-Distanz 1. Die
zugehšrigen Mittelpunktsdiagonalen schneiden sich unter 60¡.
Die
Komponenten der Vektoren und
unterscheiden sich an genau zwei Stellen.
Geometrisch hei§t das, dass ein Kantenweg von einem Eckpunkt zum anderen Ÿber
zwei Kanten verlŠuft (es gibt zwei solche Kantenwege). Die beiden Eckepunkte
haben die Hamming-Distanz 2 (die euklidische Distanz ist
). Die zugehšrigen Mittelpunktsdiagonalen sind
orthogonal.
Wir sehen, wie der Hase lŠuft.
FŸr zwei
Mittelpunktsdiagonalen im n-d-HyperwŸrfel,
deren Endpunkte die Hamming-Distanz d
haben, ergibt sich der spitze Schnittwinkel :
(6)
Die Tabelle 1 zeigt einige Werte.
n\d |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
2 |
90 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
70.5288 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
60 |
90 |
|
|
|
|
|
|
5 |
53.1301 |
78.4630 |
|
|
|
|
|
|
6 |
48.1897 |
70.5288 |
90 |
|
|
|
|
|
7 |
44.4153 |
64.6231 |
81.7868 |
|
|
|
|
|
8 |
41.4096 |
60 |
75.5225 |
90 |
|
|
|
|
9 |
38.9424 |
56.2510 |
70.5288 |
83.6206 |
|
|
|
|
10 |
36.8699 |
53.1301 |
66.4218 |
78.4630 |
90 |
|
|
|
11 |
35.0968 |
50.4788 |
62.9643 |
74.1734 |
84.7841 |
|
|
|
12 |
33.5573 |
48.1897 |
60 |
70.5288 |
80.4059 |
90 |
|
|
13 |
32.2042 |
46.1869 |
57.4210 |
67.3801 |
76.6576 |
85.5883 |
|
|
14 |
31.0027 |
44.4153 |
55.1501 |
64.6231 |
73.3985 |
81.7868 |
90 |
|
15 |
29.9264 |
42.8334 |
53.1301 |
62.1819 |
70.5288 |
78.4630 |
86.1774 |
|
16 |
28.9550 |
41.4096 |
51.3178 |
60 |
67.9757 |
75.5225 |
82.8192 |
90 |
Tab. 1: Schnittwinkel