Hans Walser, [20260108]

Differenzenfolge

Idee und Anregung: Jo Niemeyer, Breitnau im Hochschwarzwald 

1 Worum es geht

Verallgemeinerung der Fibonacci-Folge

Mustererkennung

Größter gemeinsamer Teiler

Rationale Näherungswerte für irrationale Zahlen

2 Die Folge

Wir arbeiten mit zwei Startwerten a₁ und a₂ und der Rekursion:

a_n = |a_n–1 – a_n–2|

Anschaulich: die neue Zahl ist die Differenz der beiden vorangehenden Zahlen, wobei jeweils die kleinere Zahl von der größeren subtrahiert wird.

3 Natürliche Zahlen

3.1 Beispiel 1

Mit den natürlichen Zahlen a₁ = 35 und a₂ = 15 als Startwerten ergibt sich die Folge der Tabelle 1.

n	an
1	35	Startwert
2	15	Startwert
3	20
4	5
5	15
6	10
7	5	Beginn eines periodischen Musters
8	5
9	0
10	5
11	5
12	0
13	5
14	5
15	0
16	5
17	5
18	0
19	5
20	5

Tab. 1: Ein periodisches Muster entsteht

Nach einigen Anfangszahlen zeichnet sich ab n = 7 ein periodisches Muster mit den Zahlen 5, 5, 0 ab (Abb.1).

Abb. 1: Periodisches Muster

Das Muster hat die Periodenlänge 3. Die Zahl 5 ist der größte gemeinsame Teiler der beiden Startwerte 35 und 15. Dieses Verfahren der Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers geht auf Euklid zurück. Es ist im Wesentlichen der sogenannte Euklidische Algorithmus.

3.2 Beispiel 2

Mit den natürlichen Zahlen a₁ = 39 und a₂ = 11 ergibt sich die Folge der Tabelle 2. Die Startwerte sind teilerfremd, der größte gemeinsame Teiler ist also 1.

n	an
1	39	Startwert
2	11	Startwert
3	28
4	17
5	11
6	6
7	5
8	1
9	4
10	3
11	1
12	2
13	1	Beginn eines periodischen Musters
14	1
15	0
16	1
17	1
18	0
19	1
20	1

Tab. 2: Ein periodisches Muster entsteht

Ab n = 13 zeichnet sich ein periodisches Muster mit den Zahlen 1, 1, 0 ab (Abb. 2).

Abb. 2: Periodisches Muster

Das Muster hat wiederum die Periodenlänge 3.

Das Muster besteht aus den drei Zahlen: größter gemeinsamer Teiler – größter gemeinsamer Teiler – null.

4 Rationale Zahlen

Mit rationalen Startwerten bleibt die Folge rational (Beispiel in Tab. 3).

n	an
1	2/7	Startwert
2	6/11	Startwert
3	20/77
4	2/7
5	2/77
6	20/77
7	18/77
8	2/77
9	16/77
10	2/11
11	2/77
12	12/77
13	10/77
14	2/77
15	8/77
16	6/77
17	2/77
18	4/77
19	2/77	Beginn eines periodischen Musters
20	2/77
21	0
22	2/77
23	2/77
24	0
25	2/77
26	2/77
27	0
28	2/77
29	2/77
30	0

Tab. 3: Rationale Startwerte

Es entsteht wiederum ein periodisches Muster (ab n = 19, Periodenlänge 3, Abb. 3).

Abb. 3: Periodisches Muster

Die Zahl 2/77 ist elfmal im ersten Startwert 2/7 und 21 Mal im zweiten Startwert 6/11 enthalten. Es ist aber nicht mehr sinnvoll, vom größten gemeinsamen Teiler zu sprechen, denn die Zahl 1 ist größer und ebenfalls gemeinsamer Teiler.

5 Irrationale Zahlen. Rationale Näherungswerte

Bei einer rationalen Zahl und einer irrationalen Zahl als Startwert erscheint kein periodisches Muster mehr. Hingegen ein Fastmuster.

5.1 Startwerte 1 und π

Mit den Zahlen a₁ = 1 und a₂ = π als Startwerten ergibt sich die Folge der Tabelle 4.

n	an	Dezimaldarstellung
1	1	1.	Rationaler Startwert
2	π	3.141592654	Irrationaler Startwert
3	π – 1	2.141592654
4	1	1.
5	–2 + π	1.141592654
6	–3 + π	0.141592654
7	1	1.
8	4 – π	0.858407346
9	–3 + π	0.141592654
10	7 – 2 π	0.716814692
11	10 – 3 π	0.575222038
12	–3 + π	0.141592654
13	13 – 4 π	0.43362938
14	16 – 5 π	0.29203673
15	–3 + π	0.141592654	Beginn eines Fastmusters
16	19 – 6 π	0.15044408
17	22 – 7 π	0.00885142	Fast null
18	–3 + π	0.141592654
19	–25 + 8 π	0.13274123
20	22 – 7 π	0.00885142	Fast null
21	–47 + 15 π	0.12388981
22	–69 + 22 π	0.11503839
23	22 – 7 π	0.00885142	Fast null
24	–91 + 29 π	0.10618697
25	–113 + 36 π	0.0973355
26	22 – 7 π	0.00885142	Fast null
27	–135 + 43 π	0.0884841
28	–157 + 50 π	0.0796327
29	22 – 7 π	0.00885142	Fast null
30	–179 + 57 π	0.0707813

Tab. 4: Startwerte 1 und π

Die Abbildung 4 zeigt das zugehörige Säulendiagramm.

Abb. 4: Säulendiagramm

Es gibt kein periodisches Muster mehr, aber immerhin ein periodisches Fastmuster, indem wir an jeder dritten Stelle zwar keine Null, aber eine Zahl haben, die fast null ist, nämlich 22–7π ≈ 0.00885142.

Genau null erhielten wir, wenn π exakt 22/7 wäre. Das ist aber nur ein aus der Schule her bekannter Näherungswert für π:

π ≈ 22/7 ≈ 3.142857

Die ersten beiden Dezimalstellen sind exakt.

Die beiden Zahlen zwischen den Fastnullen werden kleiner. So klein, dass sich dann einmal das Fastmuster verändert und eine neue Zahl als Fastnull erscheint. Die Tabelle 5 und die Abbildung 5 zeigen einen relevanten Ausschnitt aus der Folge.

n	an	Dezimaldarstellung
35	22 – 7 π	0.00885142	Bisherige Fastnull
36	–267 + 85 π	0.0353756
37	–289 + 92 π	0.0265242
38	22 – 7 π	0.00885142	Bisherige Fastnull
39	–311 + 99 π	0.0176727
40	–333 + 106 π	0.0088213
41	22 – 7 π	0.00885142	Bisherige Fastnull
42	355 – 113 π	0.0000301	Neue Fastnull
43	–333 + 106 π	0.0088213
44	–688 + 219 π	0.0087912
45	355 – 113 π	0.0000301	Neue Fastnull
46	–1043 + 332 π	0.008761
47	–1398 + 445 π	0.008731
48	355 – 113 π	0.0000301	Neue Fastnull
49	–1753 + 558 π	0.008701
50	–2108 + 671 π	0.008671
51	355 – 113 π	0.0000301	Neue Fastnull
52	–2463 + 784 π	0.008641
53	–2818 + 897 π	0.008611
54	355 – 113 π	0.0000301	Neue Fastnull

Tab. 5: Ausschnitt

Abb. 5: Ausschnitt

Die neue Fastnull 355 – 113 π ≈ 0.0000301 führt zu einem verbesserten rationalen Näherungswert für die Kreiszahl π:

π ≈ 355 / 113 ≈ 3.141592920353982

Die ersten sechs Dezimalstellen sind exakt.

Das Spielchen geht weiter. Die Tabelle 6 zeigt den relevanten Ausschnitt.

n	an	Dezimaldarstellung
480	355 – 113 π	0.00003014435336405	Bisherige Fastnull
481	–103993 + 33102 π	0.00001912933578
482	104348 – 33215 π	0.00001101501758
483	–208341 + 66317 π	0.00000811431820
484	312689 – 99532 π	0.00000290069939	Neue Fastnull
485	–521030 + 165849 π	0.00000521361881
486	–833719 + 265381 π	0.00000231291943
487	312689 – 99532 π	0.00000290069939	Neue Fastnull

Tab. 6: Ausschnitt

Die neue Fastnull 312689 – 99532 π ≈ 0.00000290069939 führt zu einem verbesserten rationalen Näherungswert für die Kreiszahl π:

π ≈ 312689 / 99532 ≈ 3.14159265361

Die ersten neun Dezimalstellen sind exakt.

Die Tabelle 7 zeigt die nächste Runde.

n	an	Dezimaldarstellung
487	312689 – 99532 π	0.00000290069939	Bisherige Fastnull
488	1146408 – 364913 π	5.877800 • 10^–7
489	–833719 + 265381 π	0.00000231291943
490	–1980127 + 630294 π	0.0000017251395
491	1146408 – 364913 π	5.877800 • 10^–7
492	–3126535 + 995207 π	0.0000011373595
493	–4272943 + 1360120 π	5.495795 • 10^–7
494	1146408 – 364913 π	5.877800 • 10^–7
495	5419351 – 1725033 π	3.82004 • 10^–8	Neue Fastnull
496	–4272943 + 1360120 π	5.495795 • 10^–7
497	–9692294 + 3085153 π	5.113791 • 10^–7
498	5419351 – 1725033 π	3.82004 • 10^–8	Neue Fastnull

Tab. 7: Ausschnitt

Die neue Fastnull 5419351 – 1725033 π ≈ 3.82004 • 10^–8 führt zu einem verbesserten rationalen Näherungswert für die Kreiszahl π:

π ≈ 5419351 / 1725033 ≈ 3.14159265358981

Die ersten zwölf Dezimalstellen sind exakt.

Mit genügend Fleiß findet man weitere Näherungswerte (Tab. 8). Es sind jeweils die exakten Dezimalstellen angegeben.

Rationaler Näherungswert	Dezimaldarstellung	Anzahl exakter Dezimalstellen
22 / 7	3.14	2
355 / 113	3.141592	6
312689 / 99532	3.141592653	9
5419351 / 1725033	3.141592653589	12
411557987 / 131002976	3.1415926535897932	15
14885392687 / 4738167652	3.1415926535897932384	18
21053343141 / 6701487259	3.141592653589793238462	20
1783366216531 / 567663097408	3.14159265358979323846264	22

Tab. 8: Rationale Näherungswerte für die Kreiszahl π

5.2 Startwerte 1 und √2

Mit den Zahlen a₁ = 1 und a₂ = √2 als Startwerten ergibt sich die Folge der Tabelle 9.

n	an	Dezimaldarstellung
1	1	1.	Rationaler Startwert
2	√2	1.414213562	Irrationaler Startwert
3	√2 – 1	.414213562
4	1	1.
5	2 – √2	.585786438
6	√2 – 1	.414213562
7	– 2 √2 + 3	.171572876
8	3 √2 – 4	.242640686
9	5 √2 – 7	.71067810 • 10^–1
10	– 2 √2 + 3	.171572876
11	– 7 √2 + 10	.100505066
12	5 √2 – 7	.71067810 • 10^–1
13	– 12 √2 + 17	.2943726 • 10^–1
14	17 √2 – 24	.4163055 • 10^–1
15	29 √2 – 41	.1219330 • 10^–1
16	– 12 √2 + 17	.2943726 • 10^–1
17	– 41 √2 + 58	.1724396 • 10^–1
18	29 √2 – 41	.1219330 • 10^–1
19	– 70 √2 + 99	.505066 • 10^–2
20	99 √2 – 140	.71426 • 10^–2
21	169 √2 – 239	.20920 • 10^–2
22	– 70 √2 + 99	.505066 • 10^–2
23	– 239 √2 + 338	.29587 • 10^–2
24	169 √2 – 239	.20920 • 10^–2
25	– 408 √2 + 577	.8667 • 10^–3
26	577 √2 – 816	.12253 • 10^–2
27	985 √2 – 1393	.359 • 10^–3	Fastnull
28	– 408 √2 + 577	.8667 • 10^–3
29	– 1393 √2 + 1970	.508 • 10^–3
30	985 √2 – 1393	.359 • 10^–3	Fastnull

Tab. 9: Startwerte 1 und √2

Aus der Fastnull (für n = 27 und 30) ergibt sich die rationale Näherung:

√2 ≈ 1393 / 985 ≈ 1.41421319

Die ersten sechs Dezimalstellen sind exakt.

Die Tabelle 10 gibt weitere rationale Näherungswerte. Es sind jeweils die exakten Dezimalstellen angegeben.

Rationaler Näherungswert	Dezimaldarstellung	Anzahl exakter Dezimalstellen
1393 / 985	1.414213	6
19601 / 13860	1.41421356	8
3880899 / 2744210	1.414213562373	12
54608393 / 38613965	1.41421356237309	14
10812186007 / 7645370045	1.414213562373095048	18
886731088897 / 627013566048	1.41421356237309504880168	22

Tab. 10: Rationale Näherungswerte für √2