Hans Walser, [20161008]

Dodekaeder-WŸrfel

1     About

Ein Papiermodell (Abb. 1) eines WŸrfels hat enge Beziehungen zu Dodekaeder und Ikosaeder.

Abb. 1: Dodekaeder-WŸrfel

2     Bauteile

Das Modell besteht aus sechs Bauteilen. Der Autor hat mit drei Farben gearbeitet, je zwei Bauteile in gleicher Farbe.

Die Abbildung 2 zeigt die Geometrie eines Bauteils. Die Abbildung 17 im Anhang zeigt dasselbe als Schnittmuster.

Abb. 2: Geometrie des Bauteils

Die Schnittlinien sind schwarz. Die ãTalfaltlinienÒ (konkave Faltlinien, von au§en gesehen) sind rot, die ãBergfaltlinienÒ (konvexe Faltlinien) blau eingezeichnet. Die beiden gelb markierten FŸnfecke sind im fertigen Modell von au§en sichtbar. Die in Grautšnen markierten Teile werden zu nicht sichtbaren Verbindungslaschen.

Da schon in den Bauteilen regelmŠ§ige FŸnfecke verwendet werden und auch weitere Winkel (36¡, 72¡, 108¡) aus dessen Umfeld erscheinen, erstaunt der Zusammenhang mit dem regelmŠ§igen Dodekaeder nicht.

3     Schneiden der Bauteile

Wir kopieren oder ausdrucken ein Exemplar des Schnittmusters (Abb. 17), legen es auf einen Stapel von sechs farbigen PapierblŠttern und tackern den Stapel au§erhalb des Schnittmusterbereiches mehrfach zusammen. Dann schneiden wir den Stapel mit einem Japanmesser entlang der durchgezogenen Linien des Schnittmusters. Die gestrichelten Faltlinien dienen nur der Orientierung und sind natŸrlich nicht durchzuschneiden.

4     Falten der Bauteile

Auf den ausgeschnittenen farbigen Papieren fehlen die Faltlinien. Wir kšnnen aber trotzdem die Faltlinien akkurat anbringen wie folgt.

Die folgenden Abbildungen illustrieren den Faltvorgang mit einem Papier, das auf der Vorderseite gelb ist und auf der RŸckseite hellblau. Zur Orientierung ist auch immer der Umriss des ursprŸnglichen Papiers angegeben.

Wir beginnen mit einem ausgeschnittenen Papier (Abb. 3a). Dann falten wir die unterste Ecke auf die oberste (Abb. 3b). Dabei achten wir darauf, dass die beiden Spickel links und rechts nicht mitgefaltet werden.

Abb. 3: Start des Faltvorganges

Wir falten auf (Abb. 4a) und falten den linken Spickel ein gemŠ§ Abbildung 4b.

Abb. 4: Auffalten. Einfalten des linken Spickels

Ebenso falten wir den rechten Spickel ein (Abb. 5a) und falten anschlie§end den unteren Teil nach oben gemŠ§ Abbildung 5b.

Abb. 5: Zweiten Spickel einfalten. Hochfalten

Was links vorsteht, falten wir ein (Abb. 6a), drehen die Sache um und falten wieder das Vorstehende ein (Abb. 6b). Der Papierumriss ist nun ein regelmŠ§iges FŸnfeck.

Abb. 6: Vorstehendes einfalten

Nun falten wir die vordere Giebelfront herunter (Abb. 7a), drehen um und tun dasselbe mit der zweiten Giebelfron (Abb. 7b).

Abb. 7: Giebel herunterfalten

Jetzt falten wir alles auf (Abb. 8a) und falten noch die beiden kleinen Ecken hinein gemŠ§ Abbildung 8b.

Abb. 8: Auffalten. Ecken einfalten

Der Faltvorgang ist beendet. Nun gehtÕs in den Raum. Wir falten so hoch, dass die roten Faltkanten von oben gesehen konkav werden. Die Spickel links und rechts schieben wir unter die gemŠ§ Abbildung 8b eingefalteten Ecken.

Die Abbildung 9 zeigt das Bauteil. Das Papier ist natŸrlich auf beiden Seiten gelb.

Abb. 9: Bauteil

Das Bauteil ist ein umgekehrtes oder eingedrŸcktes Walmdach.

Die Abbildung 10 zeigt die Position des Bauteils (mit unterschiedlichen Farben auf Vorder- und RŸckseite) im zukŸnftigen WŸrfel.

Die beiden Giebeldreiecke werden beim Zusammenbau dann noch eingeklappt.

Abb. 10: Situation im WŸrfel

Wir falten analog die fŸnf anderen Bauteile.

5     Zusammenbau

FŸr den Zusammenbau orientieren wir uns an den Abbildungen 1 und 11.

Abb. 11: WŸrfel

Die Bauteile sto§en so aneinander, dass die Firstlinien der eingedrŸckten WalmdŠcher paarweise senkrecht sind.

Die Giebeldreiecke werden Ÿber das angrenzende Bauteil geklappt. Da das Modell im Bereich der Giebeldreiecke ãdŸnnÒ oder ãleerÒ ist, das hei§t kein Volumen hat, kšnnen wir beim Zusammenbau mit BŸroklammern fixieren. Wenn dann alles sitzt, ersetzen wir die BŸroklammern mit Tackerklammern.

6     Link zum Dodekaeder

Von einem Walmdachfirst ausgehend haben wir zwei FŸnfecke, die allerdings oben Ÿber die Kante gehen. Insgesamt also zwšlf FŸnfecke wie beim Dodekaeder.

Das Modell hat acht Au§enecken (die WŸrfelecken) und zwšlf konkave Innenecken an den Enden der Firstlinien. Insgesamt also 20 Ecken wie beim Dodekaeder.

Bei den Kanten ist der Vergleich mit dem Dodekaeder nur bedingt mšglich. Wir haben 30 konkave Kanten (das Dodekaeder hat 30 konvexe Kanten), aber zusŠtzlich noch die zwšlf konvexen WŸrfelkanten. Da das Modell aber im unmittelbaren Anschluss an die WŸrfelkanten volumenlos ist, kšnnen wir diese Kanten eigentlich ignorieren.

Das Modell als ganzes ist aber nicht volumenlos. Wenn wir die volumenlosen Teile wegmachen, bleibt ein Stern Ÿbrig (Abb. 12). Der Stern hat acht Spitzen, ist aber nicht der Kepler-Stern (stella octangula), welcher ebenfalls acht Spitzen hat.

Abb. 12: Stern mit acht Spitzen

Die Abbildung 13 zeigt ein Papiermodell dieses Sterns.

Abb. 13: Papiermodell des Sterns

Die Abbildung 14 zeigt eines der sechs Bauteile des Sterns, die Abbildung 18 im Anhang das zugehšrige Schnittmuster.

Abb. 14: Bauteil fŸr den Stern

Das Modell der Abbildung 13 kann ohne Klammern zusammengebaut werden.

7     Link zum Ikosaeder

Die zwšlf Endpunkte der eingedrŸckten Walmdachfirste spannen ein Ikosaeder auf. Die Abbildung 15 zeigt die schematische Darstellung. Die Walmdachfirste sind rot gezeichnet, die Kanten des Ikosaeders orange.

Abb. 15: Ikosaederkanten

In der Abbildung 16 sind die sichtbaren SeitenflŠchen des Ikosaeders angegeben.

Ikosaeder

8     Anhang: Schnittmuster

Abb. 17: Schnittmuster fŸr Dodekaeder-WŸrfel

Abb. 18: Schnittmuster fŸr den Stern