Hans Walser, [20230744]
Dodekaeder
Dokumentation über das regelmäßige Dodekaeder
Figuren im Gerüst des regelmäßigen Dodekaeders und seiner Diagonalen
Phi = Φ = (1+ √5)/2 (Goldener Schnitt)
phi = 1/ Φ = (–1+ √5)/2
A[0] := [0, 0, 0]:
(Mittelpunkt, Ursprung des Koordinatensystems)
A[1] :=
[1,1,1]:
A[2] :=
[1,1,–1]:
A[3] :=
[1,–1,1]:
A[4] :=
[1,–1,–1]:
A[5] := [–1,1,1]:
A[6] := [–1,1,–1]:
A[7] := [–1,–1,1]:
A[8] := [–1,–1,–1]:
A[9] := [phi, 0, Phi]:
A[10] :=
[–phi, 0, Phi]:
A[11] :=
[phi, 0, –Phi]:
A[12] :=
[–phi, 0, –Phi]:
A[13] :=
[Phi, phi, 0]:
A[14] :=
[Phi, –phi, 0]:
A[15] :=
[–Phi, phi, 0]:
A[16] :=
[–Phi, –phi, 0]:
A[17] :=
[0, Phi, phi]:
A[18] :=
[0, Phi, –phi]:
A[19] :=
[0, –Phi, phi]:
A[20] := [0, –Phi, –phi]:
Die Abbildung 1 gibt die Position mit den Eckennummern im Koordinatensystem. Das Dodekaeder steht auf der Kante A[11] A[12] (kantenständige Darstellung).
Abb. 1: Position im Koordinatensystem
Die Abbildung 2 zeigt einen Streckenzug den Nummern nach.
Abb. 2: Streckenzug den Nummern nach
Die Ecken A[1] bis A[8] bilden einen achsenparallelen (Kanten parallel zu den
Koordinatenachsen) grünen Würfel (Abb. 3). Es gibt insgesamt fünf Würfel im
Dodekaeder, die übrigen vier sind nicht achsenparallel.
Abb. 3: Würfel
im Dodekaeder
Mit den Ecken A[9]
bis A[20] lässt sich ein achsenparalleles Rechtecksgerüst
bilden (Abb. 4). Die Rechtecke haben das Seitenverhältnis Φ:(1/
Φ) (Langes Goldenes Rechteck). Es gibt insgesamt fünf solche Rechtecksgerüste, die übrigen vier sind nicht
achsenparallel.
Abb. 4.1: Lange Goldene Rechtecke
Abb. 4.2: Würfel und Lange Goldene Rechtecke
Es gibt drei spezielle Positionen im Koordinatensystem: Kantenständig (Abb. 1 und 5.1), eckenständig (Abb. 5.2) und seitenständig (Abb. 5.3).
In der kantenständigen Position (Abb. 5.1) ist die z-Achse eine zweizählige Symmetrieachse.
Abb. 5.1: Kantenständig
In der eckenständigen Position (Abb. 5.2) ist die z-Achse eine dreizählige Symmetrieachse.
Abb. 5.2: Eckenständig
In der seitenständigen Position (Abb. 5.3) ist die z-Achse eine fünfzählige Symmetrieachse.
Abb. 5.3: Seitenständig
Die Abbildung 6 zeigt das Kantengerüst.
Abb. 6: Kantengerüst
Die Abbildung 7.1 zeigt das Kantengerüst mit sämtlichen Diagonalen.
Abb. 7.1: Kantengerüst mit sämtlichen Diagonalen
Die Hamming-Länge einer Diagonale bestimmen wir als die minimale Anzahl von Kanten auf dem Kantengerüst, um vom Anfangspunkt der Diagonale zum Endpunkt zu gelangen. Es handelt sich hier um die sogenannte Hamming-Distanz (Richard Wesley Hamming, 1915-1998). In unserem Kontext ist die Hamming-Länge immer eine natürliche Zahl. Die Kanten selber sind die „Diagonalen“ mit der Hamming-Länge eins. Die längsten Diagonalen (zwischen diametralen Punkten) haben die Hamming-Länge 5.
Die Tabelle 1 gibt eine Übersicht über die Diagonalenlängen. Dabei ist Φ der Goldene Schnitt, Φ ≈ 1.618033988. Die relative euklidische Länge ist bezogen auf die Kantenlänge.
Farbe |
|
|
|
|
|
Hamming-Länge |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
Relative euklidische Länge |
1 |
Φ |
Φ √2 |
1 + Φ |
Φ √3 |
Relative euklidische Länge |
1 |
1.618033988 |
2.288245610 |
2.618033986 |
2.802517076 |
Anzahl |
30 |
60 |
60 |
30 |
10 |
Begriff |
Kante |
Seitenflächendiagonale |
Raumdiagonale |
Raumdiagonale |
Durchmesser |
Tab. 1: Diagonalenlängen
Abb. 7.2: Diagonalen der Hamming-Länge 2
Abb. 7.3: Diagonalen der Hamming-Länge 3
Abb. 7.4: Diagonalen der Hamming-Länge 4
Abb. 7.5: Diagonalen der Hamming-Länge 5
Die Abbildung 8.1 zeigt ein Dreieck mit der Hamming-Seitenlänge 2.
Abb. 8.1: Dreieck mit der Hamming-Seitenlänge 2
In den Abbildungen 8.2 und 8.3 sind alle Dreiecke mit der Hamming-Seitenlänge 2 eingezeichnet. Es gibt 20 solche Dreiecke. Die Figur ist also eine Art Ikosaeder.
Abb. 8.2 Dreiecke der Hamming-Seitenlänge 2
Abb. 8.3 Dreiecke der Hamming-Seitenlänge 2
Abb. 8.4: Dreiecke der Hamming-Seitenlänge 2
Die Abbildung 9.1 zeigt ein einzelnes Dreieck mit der Hamming-Seitenlänge 3.
Abb. 9.1: Dreieck mit Hamming-Seitenlänge 3
Je vier Dreiecke bilden ein Tetraeder (Abb. 9.2).
Abb. 9.2: Tetraeder
In den Abbildungen 9.3 und 9.4 sind alle Dreiecke mit der Hamming-Seitenlänge 3 eingezeichnet. Es gibt 40 solche Dreiecke und damit zehn Tetraeder.
Abb. 9.3 Dreiecke und Tetraeder der Hamming-Seitenlänge 3
Abb. 9.4: Dreiecke und Tetraeder der Hamming-Seitenlänge 3
Abb. 9.5: Dreiecke und Tetraeder der Hamming-Seitenlänge 3
Wir können Quadrate der Hamming-Seitenlänge 2 einbauen.
Die Abbildung 10.1 zeigt ein Einzelquadrat.
Abb. 10.1: Quadrat
Es gibt 30 Möglichkeiten. Je sechs Quadrate bilden einen Würfel. Die Abbildung 10.2 zeigt einen Würfel. Es gibt 5 Würfel.
Abb. 10.2: Würfel der Hamming-Seitelänge 2
Die Abbildungen 10.3 und 10.4 zeigen alle Quadrate.
Abb. 10.3: Quadrate
Abb. 10.4: Quadrate
Die Abbildung 11.1 zeigt ein Fünfeck der Hamming-Seitenlänge 1. Das ist eine Seitenfläche des Dodekaeders (Abb. 11.2 und 11.3).
Abb. 11.1: Seitenfläche des Dodekaeders
Abb. 11.2: Dodekaeder
Abb. 11.3: Drehendes Dodekaeder
Abb. 11.4: Drehendes Dodekaeder
Die Abbildung 12.1 zeigt ein einzelnes Fünfeck der Hamming-Seitenlänge 2, die Abbildungen 12.2 und 12.3 alle Fünfecke.
Abb. 12.1: Fünfeck mit Hamming-Seitenlänge 2
Abb. 12.2: Fünfecke
Abb. 12.3: Fünfecke
Die Abbildungen 13.1 bis 13.3 zeigen Pentagramme der Hamming-Seitenlängen 2.
Abb. 13.1: Pentagramm
Abb. 13.2: Zwölf Pentagramme
Abb. 13.3: Weihnachten
Die Abbildungen 14.1 bis 14.3 zeigen Pentagramme der Hamming-Seitenlängen 4.
Abb. 14.1: Pentagramm
Der entstehende Stern (Abb. 14.2 und 14.3) heißt Ikosaederstern und ist einer der vier Kepler-Poinsot-Körper. Er enthält im Innern ein regelmäßiges Ikosaeder, daher der Name.
Abb.
14.2: Zwölf Pentagramme
Abb.
14.3: Ikosaederstern
Ein Langes Goldenes Rechteck hat das Seitenverhältnis Φ:(1/ Φ) = Φ2:1 = (1+ Φ):1. Es entsteht aus dem Goldenen Rechteck durch Ansetzen eines Quadrates auf der Schmalseite (Abb. 15.1). Werden vom Langen Goldenen Rechteck zwei Quadrate abgeschnitten, bleibt ein gewöhnliches Goldenes Rechteck im Hochformat übrig.
Abb. 15.1:
Langes Goldenes Rechteck
Die Abbildung 15.2
zeigt ein Langes Goldenes Rechteck im Dodekaeder. Die Hamming-Seitenlängen
verhalten sich wie 4:1. Es gibt 15 solche Rechtecke.
Abb. 15.2: Langes
Goldenes Rechteck im Dodekaeder
Die Abbildungen 15.3
und 15.4 zeigen sämtliche Langen Goldenen Rechtecke.
Abb. 15.3: Alle
Langen Goldenen Rechtecke
Abb. 15.4:
Lange Goldene Rechtecke
Wir können ein
Rechteck im DIN-Format einpassen (Abb. 16.1). Es hat das euklidische
Seitenverhältnis √2:1. Die Hamming-Seitenlängen
verhalten sich wie 3:2.
Abb. 16.1:
Rechteck im DIN-Format
Es gibt 30 solche
Rechtecke (Abb. 16.2 und 16.3).
Abb. 16.2:
Rechtecke im DIN-Format
Abb. 16.3:
Rechtecke im DIN-Format
Wir unterteilen die
im vorhergehenden Abschnitt beschriebenen Rechtecke. Dadurch entstehen vier
gleichschenklige Dreiecke, zwei spitze und zwei stumpfe.
Die Spitzen dieser gleichschenkligen
Dreiecke liegen im Mittelpunkt des Dodekaeders.
Abb. 17:
Gleichschenklige Dreiecke im Langen Goldenen Rechteck
Die Abbildung 18.1
zeigt ein solches Dreieck im Dodekaeder.
Abb. 18.1
Dreieck im Dodekaeder
Die Abbildungen 18.2
bis 18.4 zeigen alle Dreiecke. Es hat insgesamt 30 Dreiecke, zu jeder Dodekaederkante eines. Wir haben nach
innen gerichtete Pyramiden mit der Spitze im Mittelpunkt.
Abb. 18.2:
Dreiecke im Dodekaeder
Abb. 18.3:
Dreiecke im Dodekaeder
Abb. 18.4: Dreiecke im Dodekaeder
Abb. 18.5: Papiermodell
Abb. 19.1: Einzeldreieck
Abb. 19.2: Alle Dreiecke
Abb. 19.3: Alle Dreiecke
Abb. 19.4: Alle Dreiecke
Abb. 20: Gleichschenklige Dreiecke im DIN-Rechteck
Die Abbildung 21.1 zeigt ein Einzeldreieck. Es gibt insgesamt 60 Dreiecke.
Abb. 21.1: Einzeldreieck im Dodekaeder
Abb. 21.2: Alle Dreiecke
Abb. 21.3: Alle Dreiecke
Abb. 21.4: Alle Dreiecke
Abb. 22.1:Einzeldreieck
Abb. 22.2: Alle Dreiecke
Abb. 22.3: Alle Dreiecke
Abb. 22.4: Alle Dreiecke