Hans Walser, [20230615]

Dodekaederdurchwicklung

1 Worum es geht

Auf- und Abwicklungen des regelmäßigen Dodekaeders. Als Zwischenstufen erscheinen Teile des großen Dodekaeders und das Fünfeck.

2 Die Abwicklung

Die Abbildung 1 zeigt eine klassische Abwicklung des Dodekaeders. Vorne gelb, hinten blau.

Abb. 1: Abwicklung des Dodekaeders

3 Aufwicklung

Wir wickeln auf und wieder ab, indem wir an allen Kanten um denselben Winkel verdrehen (Abb. 2). Beim Aufwickeln gehen wir bis zum Anschlag.

Abb. 2: Aufwickeln und Abwickeln

4 Durchwicklung

Nun drehen wir durch (Abb. 3).

Abb. 3: Durchwickeln

Wir erkennen der Reihe nach die Abwicklung mit der gelben Seite nach oben, ein blaues Dodekaeder, Teile eines blauen großen Dodekaeders, ein regelmäßiges Fünfeck mit scheinbarem Farbwechsel von blau zu gelb, Teile eines gelben großen Dodekaeders, ein gelbes Dodekaeder, die Abwicklung mit der blauen Seite nach oben, ein blaues Dodekaeder, Teile eines blauen großen Dodekaeders, ein Fünfeck mit scheinbarem Farbwechsel von blau zu gelb, Teile eines gelben großen Dodekaeders, ein gelbes Dodekaeder und schließlich wieder die Abwicklung mit der gelben Seite nach oben.

5 Selbstdurchdringung

Der scheinbare Farbwechsel ist eine Folge der Selbstdurchdringung.

Zum Verständnis denken wir uns ein Papierblatt, das oben gelb und unten blau ist (Abb. 4). Dieses Blatt falten wir bis zum Anschlag. Dann geht es in der realen Welt nicht mehr weiter.

Abb. 4: Falten und Auffalten eines Papierblattes

Wir denken uns nun, dass wir das Papier durch sich selber hindurchfalten können (Abb. 5). So entsteht ein scheinbarer Farbwechsel.

Abb. 5: Selbstdurchdringung

6 Teile des großen Dodekaeders

Die Abbildungen 6 und 7 zeigen Teile des großen Dodekaeders.

Abb. 6: Teile des großen Dodekaeders

Abb. 7: Teile des großen Dodekaeders

Das große Dodekaeder besteht ebenfalls aus zwölf Fünfecken, allerdings durchdringen sich diese wechselseitig. Unser Aufwickelprozess führt aber offenbar zu Überlappungen, weshalb einige Fünfecke zu fehlen scheinen.

Ich habe keine Abwicklung gefunden, welche sowohl für das gewöhnliche Dodekaeder wie auch für das große Dodekaeder passt.

Die Abbildung 8 zeigt das vollständige große Dodekaeder.

Abb. 8: Großes Dodekaeder

Weblinks

Hans Walser: Dodekaederdurchwicklung

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/D/Dodekaederdurchwicklung/Dodekaederdurchwicklung.html

Hans Walser: Ikosaederdurchwicklung

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/I/Ikosaederdurchwicklung/Ikosaederdurchwicklung.html

Hans Walser: Oktaederdurchwicklung

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/O/Oktaederdurchwicklung/Oktaederdurchwicklung.html

Hans Walser: Tetraederdurchwicklung

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/T/Tetraederdurchwicklung/Tetraederdurchwicklung.html

Hans Walser: Würfeldurchwicklungen

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/W/Wuerfeldurchwicklungen/Wuerfeldurchwicklungen.html