Hans Walser, [20180120]

Doppelter Pythagoras

1 Problem

Gesucht sind Zahlentripel mit:

(1)

und:

(2)

In (1) erkennen wir den Pythagoras, in (2) seinen älteren Bruder.

2 Bearbeitung

Wir subtrahieren (1) von (2) und erhalten:

(3)

Umformen ergibt:

(4)

Quadrieren liefert:

(5)

Daraus ergibt sich:

(6)

Dies ist die Gleichung einer Hyperbel (Abb. 1).

Abb. 1: Lösungsmenge

Wir sehen, dass es keine Lösung mit positivem a und positivem b gibt. Trotzdem lohnt es sich, einige Lösungen anzusehen.

3 Ausgewählte Lösungen

3.1 Alte Bekannte

Für liefert (6) den Wert . Es ist dann . Wir haben also bis auf das Vorzeichen bei a das Lehrerdreieck mit dem Seitenverhältnis (gelb in Abb. 2).

Weiter ist , und schließlich . Wir haben das pythagoreische Dreieck mit dem Seitenverhältnis (zyan in Abb. 2).

Abb. 2: Zwei pythagoreische Dreiecke

3.2 Weitere Bekannte

Für liefert (6) den Wert . Es ist dann . Wir haben also bis auf das Vorzeichen bei a den schon angetroffenen alten Bekannten mit dem Seitenverhältnis (gelb in Abb. 3).

Weiter ist , und schließlich . Wir haben das pythagoreisches Dreieck mit dem Seitenverhältnis (zyan in Abb. 3).

Abb. 3: Nochmals zwei pythagoreische Dreiecke

3.3 Noch ein Beispiel

Für liefert (6) den Wert . Es ist dann . Wir haben also bis auf das Vorzeichen bei a den schon angetroffenen alten Bekannten mit dem Seitenverhältnis (gelb in Abb. 4).

Weiter ist , und schließlich . Wir haben das pythagoreisches Dreieck mit dem Seitenverhältnis (zyan in Abb. 4).

Abb. 4: Pythagoreische Dreiecke

3.4 Allgemein

Die Beispiele sind nicht umwerfend. Sobald wir ein pythagoreisches Dreieck mit rationalen Seiten haben, ergibt die Addition von 1 wieder ein rechtwinkliges Dreieck mit rationalen Seiten, also wieder ein pythagoreisches Dreieck.