Hans Walser, [20120113]

Drei Höhen

Schülerfrage: Wie kann ein Dreieck konstruiert werden, von dem wir die drei Höhen kennen? Wie lässt sich der Flächeninhalt berechnen?

Bearbeitung

Wegen ist:

Damit ist das Dreieck bis auf Ähnlichkeit festgelegt. Dann strecken, bis die Höhen stimmen.

Möglicher Konstruktionsweg

Wir konstruieren ein Dreieck mit den drei Höhen als Seiten. Dessen Höhen verhalten sie wie die Kehrwerte von und somit gleich wie die gesuchten Seiten a, b, c. Das Dreieck mit den drei Seiten ist also ähnlich zum gesuchten Dreieck. Die absolute Größe finden wir durch Strecken mit dem Faktor . Hahaha. Die Abbildung illustriert den Gedankengang. Konstruktionsbeginn ist das mittlere Bild in der oberen Reihe.

Gedankengang

Flächeninhalt

Zunächst ist . Wir setzen dies in die Heronsche Formel

ein. Es ist dann:

Somit haben wir die Flächenformel: