Hans Walser, [20190422]
Dreieck, Quadrat, FŸnfeck
Anregung: Patrik G. K. Wiesner, BSc ETHZ, Davidgasse 42, A - 1100 Wien
1 Problemstellung
Die Abbildungen 1 und 2 zeigen 13 Bausteine.
Abb. 1: Die 13 Bausteine
Mit diesen 13 Bausteinen kann ein gleichseitiges Dreieck, ein Quadrat oder ein regelmŠ§iges FŸnfeck ausgelegt werden.
Abb. 2: Die 13 Bausteine
Im Anhang ist ein Schnittmuster in kompakter Form gro§formatig gegeben. Dieses kann ausgedruckt und in die Bauteile zerschnitten werden.
2 Lšsung
Die Abbildung 3 zeigt die drei Lšsungen.
Abb. 3: Die drei Lšsungen
Die Lšsungen sind so dargestellt, dass fast alle Bauteile gegenŸber der Darstellung in der Abbildung 1 entweder gleichgerichtet sind oder um 180¡ gedreht. Daher die ãschiefeÒ Darstellung des Quadrates und des regelmŠ§igen FŸnfeckes.
Das gelbe Viereck, das magenta Dreieck und das dunkelblaue Viereck sind bei allen drei Lšsungen gleich orientiert wie in der Vorgabe der Abbildung 1.
Beim regelmŠ§igen FŸnfeck sind die Teile oberhalb der sichtbaren Diagonalen gegenŸber der Abbildung 1 um Vielfache von 36¡ gedreht.
Die Abbildungen 4 bis 7 zeigen reale Beispiele.
Abb. 4: Quadrat
Abb. 5: Gleichseitiges Dreieck
Abb. 6: Parallelogramm im SeitenverhŠltnis des Goldenen Schnittes
Abb. 7: RegelmŠ§iges FŸnfeck
3 Hintergrund
In der Zerlegung der Abbildung 3 sind zwei klassische Zerlegungen kombiniert.
3.1 Dreieck und Quadrat
Die Abbildung 8 zeigt eine gemeinsame Zerlegung eines gleichseitigen Dreieckes und eines Quadrates (Henry Ernest Dudeney, 1903).
Abb. 8: Dreieck und Quadrat
3.2 Dreieck und FŸnfeck
Die Abbildung 9 zeigt eine gemeinsame Zerlegung eines gleichseitigen Dreieckes und eines regelmŠ§igen FŸnfeckes (Michael Goldberg, 1952).
Abb. 9: Dreieck und regelmŠ§iges FŸnfeck
3.3 †berlagerung der Dreiecksunterteilungen
In der Abbildung 10 sehen wir die Unterteilung des Dreiecks nach Dudeney in blau und jene nach Goldberg in rot.
Abb. 10: Die beiden Dreiecksunterteilungen
Die †berlagerung der beiden Unterteilungen (Abb. 11) liefert die Unterteilung des Dreiecks in 13 Teile in der Lšsung (Abb. 3). Die Teile mŸssen nun noch in die entsprechenden Positionen im Quadrat und im regelmŠ§igen FŸnfeck gebracht werden.
Abb. 11: †berlagerung
Weblinks
DITOH,
Spezieller platonischer Kšrper
Hans Walser: Dudeney
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/D/Dudeney2/Dudeney2.htm
Hans Walser: Dudeney
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/D/Dudeney/Dudeney.htm
Hans Walser: Goldberg
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/G/Goldberg/Goldberg.htm
