Hans Walser, [20100101b]

Dreieck im Raster

1 Worum es geht

Ist das Dreieck ABC gleichseitig?

Gleichseitiges Dreieck?

Leider nein. Für die Seitenlängen erhalten wir nämlich:

Die Frage ist, ob es in einem Quadratraster ein gleichseitiges Dreieck geben kann, dessen drei Ecken Rasterpunkte sind. Auch das geht nicht.

Es kann im Quadratraster kein gleichseitiges Dreieck geben, dessen drei Ecken Rasterpunkte sind.

Warum ist das so? — Beweise folgen.

2 Quadrate im Quadratraster

Zwei Rasterpunkte A und B lassen sich immer durch Rasterpunkte C und D zu einem in der Regel „schrägen“ Quadrat ergänzen.

Schräges Quadrat im Raster

Beweis: Der Vektor hat ganzzahlige Komponenten:

Mit dem Vektor kommen wir von B nach C und mit dem Vektor von C nach D.

Es ist nicht immer einfach, die „schrägen“ Quadrate zu erkennen.

2.1 Wie viele Quadrate sehen wir?

Wie viele Quadrate sind im Quadratraster erkennbar?

Wie viele Quadrate hat es im Raster?

Es gibt insgesamt 6 Lösungen:

6 Lösungen

2.2 Wie viele Quadrate sehen wir?

Wie viele Quadrate sind im folgenden Quadratraster erkennbar?

Wie viele Quadrate hat es im Raster?

Ich komme auf Lösungen. Die beiden interessantesten Lösungen sind schräg.

Schräge Lösungen

3 Kein gleichseitiges Dreieck

Wir wollen nun beweisen, dass es im Quadratraster kein gleichseitiges Rasterdreieck geben kann.

3.1 Vektorieller Beweis

Wir versuchen, zwei Rasterpunkte A und B zu einem gleichseitigen Dreieck ABC zu ergänzen.

Der Vektor hat ganzzahlige Komponenten:

Der Vektor ist der um 120° gedrehte Vektor , also:

Wegen der Irrationalität von können nicht beide Komponenten von ganzzahlig sein. Der Punkt C ist kein Rasterpunkt.

3.2 Beweis mit reductio ad absurdum

Wir nehmen an, es gäbe ein gleichseitiges Rasterdreieck und führen diese Annahme zu einem Widerspruch.

Zunächst können wir das gleichseitige Rasterdreieck durch Verschieben gemäß den angegebenen Seitenvektoren zu einem regelmäßigen Sechseck ergänzen. Da die Translationsvektoren gemäß Annahme ganzzahlige Komponenten haben, ist das regelmäßige Sechseck ein Rastersechseck. Durch Ansetzen von Quadraten erhalten wir schließlich ein regelmäßiges Rasterzwölfeck.

Vom Dreieck zum Zwölfeck

Und nun kommt die eigentliche reductio ad absurdum: Wir setzen die Seitenvektoren des Zwölfeckes neu in der Reihenfolge 1, 6, 11, 4, 9, 2, 7, 12, 5, 10, 3, 8 zusammen. Wir nehmen also jeweils jeden fünften Vektor in zyklischer Reihenfolge. So ergibt sich ein Stern, dessen zwölf Spitzen ebenfalls Rasterpunkte sind. Diese Spitzen liefern ein neues regelmäßiges Rasterzwölfeck, das viel kleiner ist als das Ausgangszwölfeck. Der Reduktionsfaktor ist .

Umbau des Zwölfeckes

Nun können wir das kleine Zwölfeck mit demselben Verfahren wieder um diesen Faktor reduzieren und erhalten ein noch kleineres. Und so weiter und so fort. Schließlich wird das Zwölfeck so klein, dass es durch die Maschen des Quadratrasters fällt. Dies steht im Widerspruch dazu, dass die Ecken all dieser Zwölfecke Rasterpunkte sind. Daher kann das erste Zwölfeck kein Rasterzwölfeck sein, und das Sechseck kann auch kein Rastersechseck sein und das gleichseitige Dreieck ebenfalls nicht im Raster liegen.

3.3 Eine logische und eine historische Anmerkung

Wenn wir mit dem zweiten Beweis, also der reductio ad absurdum, beginnen, können wir mit den Rechnungen des ersten Beweises folgern, dass eine irrationale Zahl ist.

Mit demselben Verfahren der reductio ad absurdum können wir zeigen, dass es im Quadratraster kein regelmäßiges Rasterfünfeck geben kann. Daraus wiederum folgt, dass im regelmäßigen Fünfeck das Verhältnis zwischen Seitenlänge und Diagonalenlänge, also der goldene Schnitt, irrational ist. Dies wurde von Hippasos von Metapont im 2. Viertel des 5. Jahrhunderts v. Chr. entdeckt. Nun war aber Hippasos Mitglied der Schule der Pythagoreer, welche die Lehrmeinung vertraten, alles sei durch Verhältnisse von ganzen Zahlen, also durch rationale Zahlen darstellbar. Irrationale Zahlen waren in diesem Lehrplan nicht vorgesehen. Die Legende will, dass Hippasos wegen seiner ketzerischen Entdeckung der irrationalen Zahlen anlässlich einer Schifffahrt über Bord gekippt wurde. So kann es gehen, wenn man den Lehrplan ignoriert.