Hans Walser, [20260715]

Dreiecke im Quadrat

1 Worum es geht

Unterteilungsaufgabe

2 Problemstellung

Ein Quadrat ist so zu unterteilen, dass die sechs roten Dreiecke kongruent sind (Abb. 1).

Abb. 1: Sechskongruente Dreiecke

3 Analyse

Die Dreiecke sind gleichschenklig mit dem Spitzenwinkel 45°.

4 Lösungswege

4.1 Schulmäßige Lösung

Wir beginnen mit dem Quadrat und seinen Diagonalen (Abb. 2.1).

Abb. 2.1: Quadrat und Diagonalen

Vom Mittelpunkt aus zeichnen wir zwei Geraden mit den Steigungswinkeln ±22.5° (Hälfte von 45°) (Abb. 2.2).

Abb. 2.2: Steigungswinkel ±22.5°

Auf der horizontalen Diagonalen wählen wir einen beliebigen Punkt und errichten darauf die Senkrechte (Abb. 2.3).

Abb. 2.3: Senkrechte in beliebigem Punkt auf der horizontalen Diagonalen

Die Senkrechte schneiden wir mit der Geraden mit dem Steigungswinkel 22.5° (Abb. 2.4).

Abb. 2.4: Schnitt mit der Geraden mit dem Steigungswinkel 22.5°

Nun zeichnen wir einen Kreisbogen mit Sehne gemäß der Abbildung 2.5. Das Zentrum ist der in der Abbildung 2.4 konstruierte Punkt.

Abb. 2.5: Kreisbogen mit Sehne

Die Sehne schneiden wir mit der Quadratseite rechts oben (Abb. 2.6).

Abb. 2.6: Schnitt mit Quadratseite

Vom Schnittpunkt aus fahren wir senkrecht nach unten (Abb. 2.7).

Abb. 2.7: Senkrechte Gerade durch den Schnittpunkt

Nun haben wir zwei der gesuchten sechs gleichschenkligen Dreiecke (Abb. 2.8).

Abb. 2.8: Zwei der sechs Dreiecke

Die übrigen Dreiecke ergeben sich durch Spiegelungen an den Quadratdiagonalen.

4.2 Die elegante Lösung

Wir zeichnen ein gleichschenkliges Modelldreieck mit Spitzenwinkel 45° in beliebiger Größe gemäß der Abbildung 3.1.

Abb. 3.1: Modelldreieck

Nun ergänzen wir mit fünf weiteren Modelldreiecken gemäß Problemstellung (Abb. 3.2).

Abb. 3.2: Ergänzung mit fünf weiteren Modelldreiecken

Der Modellfigur umschreiben wir ein Quadrat (Abb. 3.3).

Abb. 3.3: Umbeschriebenes Quadrat

Nun zoomen wir auf die vorgegebene Quadratgröße.