Hans Walser, [20200228]
Dreiecke und Quadrate
Idee und Anregung: Thomas Jahre, Serie 53 – 632. Aufgabe
1 Problemstellung
ãSind die Kanten der gleichseitigen Dreiecke und der Quadrate, die du ausgeschnitten hast, alle gleich gro§?Ò, fragte Bernd seine Schwester.
ãJa, die haben alle die gleiche KantenlŠnge. Ich lege daraus Figuren und ermittle die Anzahl der Ecken. Ich nehme so viele von den Dreiecken oder Quadraten wie ich mšchte. Schšn Kante an Kante legen.Ò
Quadrat + Quadrat ergibt ein Rechteck, das hat 4 Ecken. Dreieck + Dreieck ergibt ein Rhombus, das hat auch 4 Ecken. Ein Quadrat + ein Dreieck ergibt ein 5-Eck, das, wie der Name sagt, 5 Ecken hat. Was man kombiniert, ist beliebig, die Figur darf aber keine Lšcher haben und soll konvex sein.
Bernd meint, aus den vielen Dreiecke und Quadraten lie§e sich bestimmt jedes konvexe n-Eck legen (n > 2), wenn man nur lange genug probiert. Hat er Recht?
2 Bearbeitung
Die Abbildung 1 zeigt exemplarisch Beispiele fŸr die Eckenzahlen von 3 bis 12.
Abb. 1: Beispiele
Es gibt keine Beispiele fŸr Eckenzahlen n > 12. Dies zeigen wir mit Au§enwinkeln.
3 Au§enwinkel
FŸr unsere Figuren kommen nur die Au§enwinkel 120¡, 90¡, 60¡ und 30¡ in Frage (Abb. 2).
Abb. 2: Au§enwinkel
Die Au§enwinkelsumme eines Vieleckes ist 360¡.
Da die Au§enwinkel mindestens 30¡ messen, kann es hšchstens 12 Ecken geben.
4 Ringe ansetzen
Wir vergrš§ern die Figuren der Abbildung 1 unter Beibehaltung der Eckenkonfiguration. Die Vergrš§erung geschieht durch Ansetzen von Ringen nach einem einheitlichen Schema (Abb. 3).
Abb. 3.1: Drei Ecken
Abb. 3.2: Vier Ecken
Abb. 3.3: FŸnf Ecken
Abb. 3.4: Sechs Ecken
Abb. 3.5: Sieben Ecken
Abb. 3.6: Acht Ecken
Abb. 3.7: Neun Ecken
Abb. 3.8: Zehn Ecken
Abb. 3.9: Elf Ecken
Bei zwšlf Ecken gibt es verschiedene Varianten. Die Abbildungen 3.10 und 3.11 zeigen zwei Beispiele.
Abb. 3.10: Zwšlf Ecken
Abb. 3.11: Zwšlf Ecken, Variante
Die Abbildung 3.12 zeigt eine ausfŸhrlichere Variante.
Abb. 3.12: Zwšlf Ecken
Website
https://www.schulmodell.eu/aufgabe-der-woche.html