Hans Walser, [20080507a]

Dreiecksketten

1 Worum es geht

Wir zeichnen eine Kette von Dreiecken gemäß Figur. In der Figur ist . Es entsteht ein gleichseitiger Polygonzug. Wie lässt sich das Verhalten dieses Polygonszuges beschreiben?

Der Verhalten des Polygonszuges hängt wesentlich vom Winkel ab. Für spitze Winkel ergibt sich eine (regelmäßige) Grenzfigur, für einen rechten Winkel erhalten wir eine archimedische Spirale und für stumpfe Winkel eine logarithmische Spirale.

2 Fallunterscheidung

2.1 Spitze Winkel

Für spitze Winkel tendiert der Polygonzug gegen ein gleichseitiges Sehnenvieleck mit Zentriwinkeln . Falls eine Teiler von 360° ist, ergibt sich ein regelmäßiges Polygon mit Innenwinkel als Grenzfigur. Wenn in einem rationalen Verhältnis zu 360° steht, aber kein Teiler von 360° ist, erhalten wir als Grenzfigur einen Stern, der sich aus Diagonalen gleicher Länge eines regelmäßigen Vieleckes zusammensetzt. An den Sternspitzen haben wir ebenfalls Innenwinkel . Bei irrationalem Verhältnis zu 360° ergibt sich ein überall dicht belegter Kreisring.

Im Folgenden einige Beispiele mit jeweils .

Für oder ergeben sich als Grenzfigur ein regelmäßiges Dreieck beziehungsweise ein Quadrat.

Für erhalten wir als Grenzfigur ein regelmäßiges Fünfeck, für auf Anhieb das regelmäßige Sechseck.

Für und ergeben sich Achteck und Neuneck.

Für ist ; wir erhalten als Grenzfigur ein Pentagramm, das aus einem regelmäßigen Fünfeck durch Überspringen jeder zweiten Ecke entsteht. Für ist ; wir erhalten eine Grenzfigur, welche aus einem regelmäßigen Neuneck durch Überspringen jeder zweiten Ecke entsteht.

Wir wählen nun im Bogenmaß, also . Dieser Winkel steht nicht in einem rationalen Verhältnis zu 360°. In der folgenden Abbildung sind der Reihe nach 10, 100 und 1000 Dreiecke gezeichnet.

Beweisskizze: Falls einer der grünen Radien die Länge hätte, dann auch alle folgenden Radien. Wir hätten eine Folge von gleichschenkligen Dreiecken mit der Basis und den Basiswinkeln . Dies wäre der stabile Fall. Dieser stabile Fall tritt exakt ein für oder für . (Gibt es weitere stabile Fälle?)

Wenn nun zum Beispiel ist, dann haben wir im Vergleich zum stabilen Fall die Situation der Skizze:

Auf Grund der Dreiecksungleichung ist

Die folge der Radien ist monoton fallend. Es ist sogar . Für erhalten wir entsprechend eine monoton wachsende Folge von Radien.

Somit ist ; die Figur strebt gegen den stabilen Fall.

2.2 Rechter Winkel

Für entsteht eine Figur mit aufgesetzten rechtwinkligen Dreiecken. Bei erhalten wir für die Radien die Werte . Der Polygonzug tendiert gegen eine archimedische Spirale (vgl. [Walser 2004]).

2.3 Stumpfer Winkel

Für erhalten wir einen Polygonzug, der eine logarithmische Spirale als Grenzkurve hat. Dies ist nicht trivial, da die Dreiecke ja nicht ähnlich sind; wir haben keine Schneckenhaus-Situation.

Die Figurenfolge zeigt die Situation für und ; es sind 10, 100 und 1000 Dreiecke gezeichnet.

Zum Beweis verwenden wir die Bezeichnungen der Figur:

Da konstant ist, wächst der Radius r nach außen, und der Winkel geht gegen null. „Weit außen“ sind also die Radien nahezu parallel, und es gilt:

Daraus erhalten wir:

Wir arbeiten nun differenziell weiter:

Dies ist die Polargleichung einer logarithmischen Spirale.

Literatur

[Walser 2004] Walser, Hans: Pythagoras, eine archimedische Spirale und eine Approximation von π. Praxis der Mathematik (6/46), 2004, S. 287-288